📂미분적분학

코시의 평균값 정리 증명

정리¹

$a < b$ 이라고 하자. 만약 함수 $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 $[a,b]$ 의 모든 점에서 연속이고 모든 $x \in (a,b)$ 에서 미분가능하며 $g ' (x) \ne 0$ 이면, 다음을 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다. $$ {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}} $$

설명

보통 평균값 정리와 달라진 게 있다면 그냥 함수가 하나 더 늘어난 것이다. $g(x) = x$ 로 본다면 이 $g$ 가 더 자유로워졌다는 의미에서 평균값 정리의 일반화라고 할 수 있다.

증명

롤의 정리의 대우: $g ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 존재하지 않으면 $g(a) \ne g(b)$

정리의 전제에서 $g ' (x) \ne 0$ 이므로 롤의 정리의 대우에 의해 $g(a) \ne g(b)$ 임을 보장할 수 있다. 이에 따라 다음과 같이 새로운 함수 $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 을 정의하자. $$ h(x) := \left[ g(b)-g(a) \right] \left[ f(b)-f(x) \right] - \left[ f(b)-f(a) \right] \left[ g(b)-g(x) \right] $$ $h$ 의 정의에 따르면 $h(a)= 0 = h(b)$ 이고, 이번에는 롤의 정리에 의해 $h ' (c)=0$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 한편 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $$ h ' (x)=- \left[ g(b)-g(a) \right] f ' (x)+ \left[ f(b)-f(a) \right] g ' (x) $$ 이다. $h(x)$ 에 $x=c$ 를 대입하면 $$ h ' (c)=- \left[ g(b)-g(a) \right] f ' (c)+ \left[ f(b)-f(a) \right] g ' (c)=0 $$ 이고, 정리하면 $\displaystyle {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}}$ 를 만족하는 $c$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재함을 알 수 있다.

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같이보기

• 평균값 정리
• 적분의 평균값 정리
• 가우스의 평균값 정리