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베르누이 분포의 평균과 분산 📂확률분포론

베르누이 분포의 평균과 분산

공식

XX \sim Bin(1,p)\operatorname{Bin}(1, p)일 때, XX평균분산은 각각 아래와 같다.

E(X)=p E(X) = p

Var(X)=p(1p)=pq,q=1p \Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p

증명

p[0,1]p \in [0, 1]에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.

f(x)=px(1p)1x,x=0,1 f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1

직접 계산

기댓값의 정의에 의해,

E(X)=x=0,1xf(x)=0f(0)+1f(1)=0(1p)+1p=p \begin{align*} E(X) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x f(x) \\ &= 0 \cdot f(0) + 1 \cdot f(1) \\ &= 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p \\ &= p \end{align*}

분산을 얻기 위해 E(X2)E(X^{2})를 계산하자.

E(X2)=x=0,1x2f(x)=02f(0)+12f(1)=02(1p)+12p=p \begin{align*} E(X^{2}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x^{2} f(x) \\ &= 0^{2} \cdot f(0) + 1^{2} \cdot f(1) \\ &= 0^{2} \cdot (1-p) + 1^{2} \cdot p \\ &= p \end{align*}

분산은 Var(X)=E(X2)E(X)2\Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}이므로,

Var(X)=pp2=p(1p)=pq \Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq

적률생성함수로부터

베르누이 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.

m(t)=1p+pet=q+pet m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}

기댓값은 m(0)m^{\prime}(0)이므로,

E(X)=m(0)=pett=0=p E(X) = m^{\prime}(0) = pe^{t}|_{t=0} = p

분산을 구하기 위해 m(0)m^{\prime\prime}(0)를 계산하자.

m(t)=pett=0=p m^{\prime\prime}(t) = p e^{t}|_{t=0} = p

분산은 Var(X)=m(0)m(0)2\Var(X) = m^{\prime\prime}(0) - m^{\prime}(0)^{2}이므로,

Var(X)=pp2=p(1p)=pq \Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq