베르누이 분포의 평균과 분산
📂확률분포론베르누이 분포의 평균과 분산
공식
X∼ Bin(1,p)일 때, X의 평균과 분산은 각각 아래와 같다.
E(X)=p
Var(X)=p(1−p)=pq,q=1−p
증명
p∈[0,1]에 대해, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 이산확률분포를 베르누이 분포Bernoulli distribution라고 한다.
f(x)=px(1−p)1−x,x=0,1
직접 계산
기댓값의 정의에 의해,
E(X)=x=0,1∑xf(x)=0⋅f(0)+1⋅f(1)=0⋅(1−p)+1⋅p=p
분산을 얻기 위해 E(X2)를 계산하자.
E(X2)=x=0,1∑x2f(x)=02⋅f(0)+12⋅f(1)=02⋅(1−p)+12⋅p=p
분산은 Var(X)=E(X2)−E(X)2이므로,
Var(X)=p−p2=p(1−p)=pq
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적률생성함수로부터
베르누이 분포의 적률생성함수는 다음과 같다.
m(t)=1−p+pet=q+pet
기댓값은 m′(0)이므로,
E(X)=m′(0)=pet∣t=0=p
분산을 구하기 위해 m′′(0)를 계산하자.
m′′(t)=pet∣t=0=p
분산은 Var(X)=m′′(0)−m′(0)2이므로,
Var(X)=p−p2=p(1−p)=pq
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