직교군
정의
$n \times n$ 직교행렬들의 집합을 $\operatorname{O}(n)$이라 표기하고 $n$차원 직교군orthogonal group이라 한다.
$$ \operatorname{O}(n) := {\left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : QQ^{T} = I \right\}} $$
설명
직교행렬들의 집합이므로, 가역행렬들만 존재한다. 따라서 행렬 곱셈에 대해서 군이 되며, 일반선형군 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$의 부분군이다. 또한 미분가능한 구조를 갖기 때문에 리 군이다.
직교행렬은 회전행렬과 반사행렬로 구분되므로, 직교군이란 회전행렬과 반사행렬들의 집합이다.