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복제 불가 정리 📂양자정보이론

복제 불가 정리

양자정보이론
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정리1

다음과 같이 큐비트를 복제하는 양자 게이트는 존재하지 않는다.

(C2)⊗2→(C2)⊗2∣x⟩⊗∣0⟩↦∣x⟩⊗∣x⟩,∀∣x⟩∈C2 \begin{equation} \begin{aligned} (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{x} \otimes \ket{0} &\mapsto \ket{x} \otimes \ket{x},\quad \forall \ket{x} \in \mathbb{C}^{2} \end{aligned} \end{equation}

여기서 (C2)⊗2(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}는 벡터공간의 텐서곱, ∣a⟩⊗∣b⟩\ket{a} \otimes \ket{b}는 곱벡터이다.

설명

양자컴퓨터를 활용한 계산이 고전컴퓨터에서의 계산과 근본적으로 다른 이유 중 하나는 양자 정보를 복제할 수 없기 때문이다.

위 정리의 의미에 대해 주의할 점이 있다. 정리가 말하는 것은 특정한 어떤 큐비트를 복제할 수 없다는 것이 아니다. 주어진 임의의 큐비트 ∣x⟩∈C2\ket{x} \in \mathbb{C}^{2}를 복제하는 게이트가 존재하지 않는다는 것이다. 임의의 큐비트가 아니라 특정한 큐비트를 복제하는 양자 게이트는 존재한다. 가령 아래의 정리의 결과에 따라 α\alpha 혹은 β\beta가 00인 경우에는 복제가 가능할 수도 있는데, 양자 CNOT⁡\operatorname{CNOT} 게이트가 그 예이다. 다시말해 양자 컴퓨팅에서는 정확히 두 큐비트 ∣0⟩\ket{0}, ∣1⟩\ket{1}만 복제할 수 있고, 일반적인 중첩상태는 불가능하다.

CNOT⁡q(∣00⟩)=∣00⟩CNOT⁡q(∣10⟩)=∣11⟩ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{11}

증명

전략: 귀류법으로 증명한다.

표기법: ∣ab⟩=∣a⟩⊗∣b⟩\ket{ab} = \ket{a} \otimes \ket{b}

임의의 ∣x⟩=α∣0⟩+β∣1⟩∈C2\ket{x} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \in \mathbb{C}^{2} (0≠α,β∈C,∣α∣2+∣β∣2=1)(0 \ne \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \left| \alpha \right|^{2} + \left| \beta \right|^{2} = 1)에 대해서 (1)(1)을 만족하는 양자 게이트 GG가 존재한다고 가정하자. 유니터리 작용소는 선형이므로 다음이 성립한다.

G(∣x⟩⊗∣0⟩)=G((α∣0⟩+β∣1⟩)⊗∣0⟩)=G(α∣0⟩⊗∣0⟩+β∣1⟩⊗∣0⟩)=αG(∣00⟩)+βG(∣10⟩)=α∣00⟩+β∣11⟩ \begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= G\left( \alpha\ket{0} \otimes \ket{0} + \beta\ket{1} \otimes \ket{0} \right) \\ &= \alpha G( \ket{00} ) + \beta G( \ket{10} ) \\ &= \alpha \ket{00} + \beta \ket{11} \end{align*}

또한 GG는 (1)(1)을 만족하므로 다음이 성립한다.

G(∣x⟩⊗∣0⟩)=G((α∣0⟩+β∣1⟩)⊗∣0⟩)=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(α∣0⟩+β∣1⟩)=α2∣00⟩+αβ∣10⟩+αβ∣01⟩+β2∣11⟩ \begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \otimes \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \\ &= \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\ \end{align*}

두 식으로부터 다음을 얻는다.

α∣00⟩+β∣11⟩=α2∣00⟩+αβ∣10⟩+αβ∣01⟩+β2∣11⟩  ⟹  α2=α,β2=β,αβ=0 \alpha \ket{00} + \beta \ket{11} = \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\[1em] \implies \alpha^{2} = \alpha,\quad \beta^{2} = \beta,\quad \alpha\beta = 0

이는 α,β≠0\alpha, \beta \ne 0라는 가정에 모순되므로 임의의 큐비트를 복제하는 양자 게이트 GG는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.

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  1. 김영훈·허재성, 양자 정보 이론 (2020), p99 ↩︎