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복제 불가 정리

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정리¹

다음과 같이 큐비트를 복제하는 양자 게이트는 존재하지 않는다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{x} \otimes \ket{0} &\mapsto \ket{x} \otimes \ket{x},\quad \forall \ket{x} \in \mathbb{C}^{2} \end{aligned} \end{equation} $$

여기서 $(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}$는 벡터공간의 텐서곱, $\ket{a} \otimes \ket{b}$는 곱벡터이다.

설명

양자컴퓨터를 활용한 계산이 고전컴퓨터에서의 계산과 근본적으로 다른 이유 중 하나는 양자 정보를 복제할 수 없기 때문이다.

위 정리의 의미에 대해 주의할 점이 있다. 정리가 말하는 것은 특정한 어떤 큐비트를 복제할 수 없다는 것이 아니다. 주어진 임의의 큐비트 $\ket{x} \in \mathbb{C}^{2}$를 복제하는 게이트가 존재하지 않는다는 것이다. 임의의 큐비트가 아니라 특정한 큐비트를 복제하는 양자 게이트는 존재한다. 가령 아래의 정리의 결과에 따라 $\alpha$ 혹은 $\beta$가 $0$인 경우에는 복제가 가능할 수도 있는데, 양자 $\operatorname{CNOT}$ 게이트가 그 예이다. 다시말해 양자 컴퓨팅에서는 정확히 두 큐비트 $\ket{0}$, $\ket{1}$만 복제할 수 있고, 일반적인 중첩상태는 불가능하다.

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{11} $$

증명

전략: 귀류법으로 증명한다.

표기법: $\ket{ab} = \ket{a} \otimes \ket{b}$

임의의 $\ket{x} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \in \mathbb{C}^{2}$ $(0 \ne \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \left| \alpha \right|^{2} + \left| \beta \right|^{2} = 1)$에 대해서 $(1)$을 만족하는 양자 게이트 $G$가 존재한다고 가정하자. 유니터리 작용소는 선형이므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= G\left( \alpha\ket{0} \otimes \ket{0} + \beta\ket{1} \otimes \ket{0} \right) \\ &= \alpha G( \ket{00} ) + \beta G( \ket{10} ) \\ &= \alpha \ket{00} + \beta \ket{11} \end{align*} $$

또한 $G$는 $(1)$을 만족하므로 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \otimes \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \\ &= \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\ \end{align*} $$

두 식으로부터 다음을 얻는다.

$$ \alpha \ket{00} + \beta \ket{11} = \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\[1em] \implies \alpha^{2} = \alpha,\quad \beta^{2} = \beta,\quad \alpha\beta = 0 $$

이는 $\alpha, \beta \ne 0$라는 가정에 모순되므로 임의의 큐비트를 복제하는 양자 게이트 $G$는 존재하지 않는다는 것을 알 수 있다.

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