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각운동량의 동시 고유함수 📂양자역학

각운동량의 동시 고유함수

정리

각운동량 연산자 L2L^{2}과 LzL_{z}의 규격화된 동시 고유함수를 ∣l,m⟩\ket{l, m}이라 표기하자. 이에 대한 고유값 방정식은 다음과 같다.

L2∣ℓ,m⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ℓ,m⟩Lz∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*}

이 때 ℓ\ell은 정수 혹은 반정수만 가능하고, 주어진 ℓ\ell에 대하여 mm의 최솟값은 −ℓ-\ell, 최댓값은 ℓ\ell이다.

ℓ=0,12,1,32,2,⋯m=−ℓ,−ℓ+1,−ℓ+2,⋯ ,ℓ−2,ℓ−1,ℓ for given ℓ \begin{align*} \ell &= 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots \\ m &= -\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell \quad \text{ for given } \ell \end{align*}

설명

이 때 ℓ\ell값이 정수일 때는 궤도 각운동량에 대한 고유값 방정식이다. 궤도 각운동량은 우리가 고전적으로 알고 있는 각운동량과 같다. 반정수일 때는 스핀 각운동량이라고 하며 L\mathbf L대신 S\mathbf S로 표기한다.이는 고전적으로 대응되는 물리량이 없는, 양자현상에서만 나타나는 고유한 물리량이다. 두 연산자 L2,LzL^{2}, L_{z}에 대한 동시 고유함수들은 ℓ,m\ell, m으로 구분되므로 ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m}으로 표기한다.

유도

각운동량 연산자 L2L^{2}과 LzL_{z}는 교환가능하다.

[L2,Lz]=0 \left[ L^{2}, L_{z} \right] = 0

교환 가능한 두 연산자는 동시 고유함수를 가지므로 L2L^{2}와 LzL_{z}의 규격화된 동시 고유함수를 ∣ψ⟩\ket{\psi}이라 하고, 각 고유값을 λ\lambda, μ\mu라고 하자. 그러면 고유값 방정식은 다음과 같다.

L2∣ψ⟩=λ∣ψ⟩Lz∣ψ⟩=μ∣ψ⟩ \begin{align*} L^{2} \ket{\psi} &= \lambda \ket{\psi} \\ L_{z}\ket{\psi} &= \mu\ket{\psi} \end{align*}

각운동량 연산자 LzL_{z}의 사다리 연산자

L±=Lx±iLyL2=L−L++Lz2+ℏLz=L+L−+Lz2−ℏLz \begin{align*} L_{\pm} &= L_{x} \pm \i L_{y} \\ L^{2} &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \\ \end{align*}

사다리 연산자 L±L_{\pm}은 LzL_{z}와 L2L^{2}의 동시 고유함수에 적용되었을 때, LzL_{z}에 대한 고유값은 ±ℏ\pm \hbar만큼 변화시키고 L2L^{2}에 대한 고유값은 변화시키지 않는다.

Lz(L±∣ψ⟩)=(μ±ℏ)L±∣ψ⟩L2(L±∣ψ⟩)=λL±∣ψ⟩ \begin{align*} L_{z} (L_\pm \ket{\psi}) &= (\mu \pm \hbar)L_\pm \ket{\psi} \\ L^{2} (L_\pm \ket{\psi}) &= \lambda L_\pm \ket{\psi} \end{align*}

이 사실은 중요한 의미를 가지는데, L±L_{\pm}가 L2L^{2}의 고유값을 변화시키지 않기 때문에 LzL_{z}의 고유값이 한없이 커질 수 없다. L2=Lx2+Ly2+Lz2L^{2} = {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + {L_{z}}^{2}이고 고유함수는 규격화되어있으므로 기댓값을 계산해보면,

⟨L2⟩=⟨Lx2⟩+⟨Ly2⟩+⟨Lz2⟩ \braket{L^{2}} = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \braket{{L_{z}}^{2}}

  ⟹  λ=⟨Lx2⟩+⟨Ly2⟩+μ2≥μ2 \implies \lambda = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \mu^{2} \ge \mu^{2}

따라서 LzL_{z}의 고유값은 어느 크기 이상으로 커질 수 없다. 가장 큰 고유값을 ℓℏ\ell \hbar라고 하고, 이에 대응되는 고유함수를 ∣ψmax⟩\ket{\psi_{\text{max}}}라고 하자. 그러면 다음의 두 고유값 방정식을 얻는다.

Lz∣ψmax⟩=ℓℏ∣ψmax⟩L2∣ψmax⟩=λ∣ψmax⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \ell \hbar \ket{\psi_{\text{max}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{align*}

또한 LzL_{z}의 고유값이 최대인 상태에는 LzL_{z}의 값이 곧 전체 각운동량의 값과 같으므로, 각운동량의 xx 성분 값과 yy성분 값은 00이다.

Lx∣ψmax⟩=Ly∣ψmax⟩=0 L_{x} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{y} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0

따라서 다음의 식을 얻는다.

L+∣ψmax⟩=L+∣ψmax⟩+iLy∣ψmax⟩=0∣ψmax⟩+i0∣ψmax⟩=0 L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{+}\ket{\psi_{\text{max}}} + \i L_{y}\ket{\psi_{\text{max}}} = 0\ket{\psi_{\text{max}}} + \i 0\ket{\psi_{\text{max}}} = 0

혹은 물리적인 의미가 없으므로 L+∣ψmax⟩=0L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0으로 둔다고 생각하여도 좋다. 이 성질을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

L2∣ψmax⟩=(L−L++Lz2+ℏLz)∣ψmax⟩=(0+ℓ2ℏ2+ℓℏ2)∣ψmax⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ψmax⟩=λ∣ψmax⟩ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} &= (L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= (0 + \ell^{2}\hbar^{2} + \ell\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \ell(\ell + 1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{aligned} \end{equation}

따라서 λ=ℓ(ℓ+1)ℏ2\lambda = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}이다. 같은 논리로 LzL_{z}의 고유값이 가장 낮은 상태 ∣ψmin⟩\ket{\psi_{\text{min}}}이 존재한다는 것을 알 수 있다. 이 상태에 L−L_{-}를 취한 값은 물리적으로 의미가 없으므로 00으로 두는 것이 합리적이다.

L−∣ψmin⟩=0 L_{-}\ket{\psi_{\text{min}}} = 0

가낮 낮은 상태의 고유값을 ℓ′ℏ\ell^{\prime} \hbar라고 두면 고유값 방정식은 다음과 같다.

Lz∣ψmin⟩=ℓ′ℏ∣ψmin⟩L2∣ψmin⟩=λ∣ψmin⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \ell^{\prime} \hbar \ket{\psi_{\text{min}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{align*}

그리고 마찬가지로 다음의 식이 성립한다.

L2∣ψmin⟩=(L+L−+Lz2−ℏLz)∣ψmin⟩=(0+ℓ′2ℏ2−ℓ′ℏ2)∣ψmin⟩=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2∣ψmin⟩=λ∣ψmin⟩ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} &= (L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= (0 + {\ell^{\prime}}^{2}\hbar^{2} - \ell^{\prime}\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{aligned} \end{equation}

(1)(1)과 (2)(2)로부터 다음의 식을 얻는다.

λ=ℓ(ℓ+1)ℏ2λ=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2 \begin{align*} \lambda &= \ell(\ell+1)\hbar^{2} \\ \lambda &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \end{align*}

즉 아래의 식이 성립한다.

ℓ(ℓ+1)ℏ2=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2  ⟹  ℓ(ℓ+1)=ℓ′(ℓ′−1)  ⟹  ℓ(ℓ+1)−ℓ′(ℓ′−1)=0  ⟹  (ℓ′+ℓ)(ℓ′−(ℓ+1))=0 \begin{align*} && \ell(\ell+1)\hbar^{2} &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \implies&& \ell(\ell+1) &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) \\ \implies&& \ell(\ell+1) - \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) &= 0 \\ \implies&& ( \ell^{\prime} + \ell )(\ell^{\prime} -(\ell+1) ) &= 0 \\ \end{align*}

따라서 ℓ′=ℓ+1\ell^{\prime} = \ell + 1이거나 ℓ′=−ℓ\ell^{\prime} = -\ell이다. 그런데 ℓ′ℏ\ell^{\prime}\hbar는 가장 작은 고유값이고 ℓℏ\ell \hbar는 가장 큰 고유값이므로 ℓ′=ℓ+1\ell^{\prime} = \ell + 1이 될 수는 없다. 따라서 다음을 얻는다.

ℓ′=−ℓ \ell^{\prime} = -\ell

다시말해 LzL_{z}의 고유값 mm(이제부터 μ\mu 대신 mm으로 표기하자)의 최댓값은 ℓℏ\ell\hbar이고 최솟값은 −ℓℏ-\ell\hbar이다.

−ℓℏ≤m≤ℓℏ -\ell\hbar \le m \le \ell \hbar

즉 가장 큰 고유값이 ℓℏ\ell \hbar이니까 L−L_{-}를 동시 고유함수에 적용시킬 때 마다 대응되는 고유값은 순서대로 ℓℏ\ell \hbar, (ℓ−1)ℏ(\ell - 1)\hbar, (ℓ−2)ℏ(\ell - 2)\hbar, …\dots, (−ℓ+1)ℏ(-\ell + 1)\hbar, −ℓℏ-\ell \hbar와 같이 변한다. 모든 상태의 개수를 n+1n+1개라고 하면, ℓ−n=−ℓ\ell - n = -\ell이고 ℓ=n2\ell = \dfrac{n}{2}이다. 따라서 가능한 ℓ\ell의 값은 정수이거나 반정수(정수의 절반)이다. 또한 가능한 mm의 범위는 −ℓ,−ℓ+1,−ℓ+2,⋯ ,ℓ−2,ℓ−1,ℓ-\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell이다. 그러므로 가능한 mm값의 개수는 2ℓ+12\ell+1개이다.

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