각운동량의 동시 고유함수
정리
각운동량 연산자 $L^{2}$과 $L_{z}$의 규격화된 동시 고유함수를 $\ket{l, m}$이라 표기하자. 이에 대한 고유값 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*} $$
이 때 $\ell$은 정수 혹은 반정수만 가능하고, 주어진 $\ell$에 대하여 $m$의 최솟값은 $-\ell$, 최댓값은 $\ell$이다.
$$ \begin{align*} \ell &= 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots \\ m &= -\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell \quad \text{ for given } \ell \end{align*} $$
설명
이 때 $\ell$값이 정수일 때는 궤도 각운동량에 대한 고유값 방정식이다. 궤도 각운동량은 우리가 고전적으로 알고 있는 각운동량과 같다. 반정수일 때는 스핀 각운동량이라고 하며 $\mathbf L$대신 $\mathbf S$로 표기한다.이는 고전적으로 대응되는 물리량이 없는, 양자현상에서만 나타나는 고유한 물리량이다. 두 연산자 $L^{2}, L_{z}$에 대한 동시 고유함수들은 $\ell, m$으로 구분되므로 $\ket{\ell, m}$으로 표기한다.
유도
각운동량 연산자 $L^{2}$과 $L_{z}$는 교환가능하다.
$$ \left[ L^{2}, L_{z} \right] = 0 $$
교환 가능한 두 연산자는 동시 고유함수를 가지므로 $L^{2}$와 $L_{z}$의 규격화된 동시 고유함수를 $\ket{\psi}$이라 하고, 각 고유값을 $\lambda$, $\mu$라고 하자. 그러면 고유값 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\psi} &= \lambda \ket{\psi} \\ L_{z}\ket{\psi} &= \mu\ket{\psi} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} L_{\pm} &= L_{x} \pm \i L_{y} \\ L^{2} &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \\ \end{align*} $$
사다리 연산자 $L_{\pm}$은 $L_{z}$와 $L^{2}$의 동시 고유함수에 적용되었을 때, $L_{z}$에 대한 고유값은 $\pm \hbar$만큼 변화시키고 $L^{2}$에 대한 고유값은 변화시키지 않는다.
$$ \begin{align*} L_{z} (L_\pm \ket{\psi}) &= (\mu \pm \hbar)L_\pm \ket{\psi} \\ L^{2} (L_\pm \ket{\psi}) &= \lambda L_\pm \ket{\psi} \end{align*} $$
이 사실은 중요한 의미를 가지는데, $L_{\pm}$가 $L^{2}$의 고유값을 변화시키지 않기 때문에 $L_{z}$의 고유값이 한없이 커질 수 없다. $L^{2} = {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + {L_{z}}^{2}$이고 고유함수는 규격화되어있으므로 기댓값을 계산해보면,
$$ \braket{L^{2}} = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \braket{{L_{z}}^{2}} $$
$$ \implies \lambda = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \mu^{2} \ge \mu^{2} $$
따라서 $L_{z}$의 고유값은 어느 크기 이상으로 커질 수 없다. 가장 큰 고유값을 $\ell \hbar$라고 하고, 이에 대응되는 고유함수를 $\ket{\psi_{\text{max}}}$라고 하자. 그러면 다음의 두 고유값 방정식을 얻는다.
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \ell \hbar \ket{\psi_{\text{max}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{align*} $$
또한 $L_{z}$의 고유값이 최대인 상태에는 $L_{z}$의 값이 곧 전체 각운동량의 값과 같으므로, 각운동량의 $x$ 성분 값과 $y$성분 값은 $0$이다.
$$ L_{x} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{y} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0 $$
따라서 다음의 식을 얻는다.
$$ L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{+}\ket{\psi_{\text{max}}} + \i L_{y}\ket{\psi_{\text{max}}} = 0\ket{\psi_{\text{max}}} + \i 0\ket{\psi_{\text{max}}} = 0 $$
혹은 물리적인 의미가 없으므로 $L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0$으로 둔다고 생각하여도 좋다. 이 성질을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} &= (L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= (0 + \ell^{2}\hbar^{2} + \ell\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \ell(\ell + 1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{aligned} \end{equation} $$
따라서 $\lambda = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}$이다. 같은 논리로 $L_{z}$의 고유값이 가장 낮은 상태 $\ket{\psi_{\text{min}}}$이 존재한다는 것을 알 수 있다. 이 상태에 $L_{-}$를 취한 값은 물리적으로 의미가 없으므로 $0$으로 두는 것이 합리적이다.
$$ L_{-}\ket{\psi_{\text{min}}} = 0 $$
가낮 낮은 상태의 고유값을 $\ell^{\prime} \hbar$라고 두면 고유값 방정식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \ell^{\prime} \hbar \ket{\psi_{\text{min}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{align*} $$
그리고 마찬가지로 다음의 식이 성립한다.
$$ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} &= (L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= (0 + {\ell^{\prime}}^{2}\hbar^{2} - \ell^{\prime}\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{aligned} \end{equation} $$
$(1)$과 $(2)$로부터 다음의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} \lambda &= \ell(\ell+1)\hbar^{2} \\ \lambda &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \end{align*} $$
즉 아래의 식이 성립한다.
$$ \begin{align*} && \ell(\ell+1)\hbar^{2} &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \implies&& \ell(\ell+1) &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) \\ \implies&& \ell(\ell+1) - \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) &= 0 \\ \implies&& ( \ell^{\prime} + \ell )(\ell^{\prime} -(\ell+1) ) &= 0 \\ \end{align*} $$
따라서 $\ell^{\prime} = \ell + 1$이거나 $\ell^{\prime} = -\ell$이다. 그런데 $\ell^{\prime}\hbar$는 가장 작은 고유값이고 $\ell \hbar$는 가장 큰 고유값이므로 $\ell^{\prime} = \ell + 1$이 될 수는 없다. 따라서 다음을 얻는다.
$$ \ell^{\prime} = -\ell $$
다시말해 $L_{z}$의 고유값 $m$(이제부터 $\mu$ 대신 $m$으로 표기하자)의 최댓값은 $\ell\hbar$이고 최솟값은 $-\ell\hbar$이다.
$$ -\ell\hbar \le m \le \ell \hbar $$
즉 가장 큰 고유값이 $\ell \hbar$이니까 $L_{-}$를 동시 고유함수에 적용시킬 때 마다 대응되는 고유값은 순서대로 $\ell \hbar$, $(\ell - 1)\hbar$, $(\ell - 2)\hbar$, $\dots$, $(-\ell + 1)\hbar$, $-\ell \hbar$와 같이 변한다. 모든 상태의 개수를 $n+1$개라고 하면, $\ell - n = -\ell$이고 $\ell = \dfrac{n}{2}$이다. 따라서 가능한 $\ell$의 값은 정수이거나 반정수(정수의 절반)이다. 또한 가능한 $m$의 범위는 $-\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell$이다. 그러므로 가능한 $m$값의 개수는 $2\ell+1$개이다.
■