📂선형대수

벡터공간의 순환 부분공간

정의¹

$T : V \to V$를 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $\mathbf{v} \ne \mathbf{0} \in V$라고 하자. 다음의 부분공간

$$W = \span\left( \left\{ \mathbf{v}, T\mathbf{v}, T^{2}\mathbf{v}, \dots \right\} \right)$$

를 $\mathbf{v}$로 생성되는 $V$의 $T$-순환 부분공간^{$T$-cyclic subspace of $V$ generated by $\mathbf{v}$}이라 한다.

설명

$T$-순환 부분공간은 자명하게 $T$-불변 부분공간이다. 또한 $\mathbf{v}$를 포함하는 가장 작은 $T$-불변 부분공간이다.

정리¹

$T : V \to V$를 유한차원 벡터공간 $V$ 위의 선형변환이라고 하자. $W$를 $\mathbf{v} \ne \mathbf{0} \in V$로 생성되는 $T$-순환 부분공간이라고 하자. $k = \dim(W)$라고 하자. 그러면

1. $\left\{ \mathbf{v}, T\mathbf{v}, \dots, T^{k-1}\mathbf{v} \right\}$는 $W$의 기저이다.

2. 만약 $a_{0}\mathbf{v} + a_{1}T \mathbf{v} + \cdots + a_{k-1}T^{k-1} \mathbf{v} + T^{k}\mathbf{v} = \mathbf{0}$이면, 축소사상 $T|_{W}$의 특성다항식은 $$f(t) = (-1)^{k}\left( a_{0} + a_{1}t + \cdots +a_{k-1}t^{k-1} + t^{k} \right)$$

증명

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같이보기

• 부분공간
• 불변 부분공간