📂선형대수

기저의 확장과 축소

정리¹

$S$를 유한차원 벡터공간 $V$의 유한 부분집합이라고 하자.

(a) $S$가 $V$를 생성하지만 $V$의 기저가 아니면, $S$의 원소를 적당히 제거하여 $V$의 기저로 축소시킬 수 있다.

(b) $S$가 선형독립이지만 $V$의 기저가 아니면, $S$에 적당히 원소를 추가하여 $V$의 기저로 확장시킬 수 있다.

따름정리

$W \le V$를 $n$차원 벡터공간 $V$의 부분공간이라고 하자. $\gamma = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$를 $W$의 기저라고 하자. 그러면 $\gamma$에 적당한 원소를 추가하여 $V$의 기저 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{v}_{k+1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$로 확장시킬 수 있다.

증명

(a)

$\span(S) = V$지만 $S$가 $V$의 기저가 아니라는 것은 $S$가 선형종속이라는 뜻이다. 따라서 $S$의 어떤 벡터 $\mathbf{v}_{1}$은 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 더하기/빼기 정리에 의해 $S \setminus \left\{ \mathbf{v}_{1} \right\}$ 역시 $V$를 생성한다. 만약 $S \setminus {\mathbf{v}_{1}}$가 선형독립이면 증명이 끝난다. 선형독립이 아니라면 같은 논리로 $V$를 생성하는 $S \setminus \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \right\}$를 생각할 수 있다. 이를 반복하면 $S$에서 적당한 원소를 제거하여 $V$의 기저가 되는 집합을 얻는다.

(b)

$\dim(V) = n$이라고 가정하자. $S$가 선형독립이지만 $V$의 기저가 아니라는 것은 $S$가 $V$를 생성하지 못한다는 말이다. 그러면 더하기/빼기 정리에 의해 어떤 벡터 $\mathbf{v}_{1} \notin \span(S)$를 $S$에 추가한 $S \cup \left\{ \mathbf{v}_{1} \right\}$도 여전히 선형독립이다. 같은 방법을 반복하면 $S$에 적당한 벡터들을 추가하여 원소의 개수가 $n$인 선형독립집합을 얻는다. $n$차원 벡터공간에서 원소가 $n$개인 선형독립집합은 기저이므로 증명이 끝난다.

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