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미분다양체의 곡률 📂기하학

미분다양체의 곡률

정의1

MM을 리만 다양체, X(M)\frak{X}(M)을 MM 위의 모든 벡터필드들의 집합이라고 하자.

X(M)=the set of all vector fileds of calss C∞ on M \frak{X}(M) = \text{the set of all vector fileds of calss } C^{\infty} \text{ on } M

MM의 곡률curvature RR은 X,Y∈X(M)X, Y \in \frak{X}(M)을 R(X,Y):X(M)→X(M)R(X, Y) : \frak{X}(M) \to \frak{X}(M)으로 대응하는 함수이다. 이때 R(X,Y)R(X, Y)는 다음과 같이 주어진다.

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,Z∈X(M) \begin{equation} R(X, Y) Z = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M) \end{equation}

이러한 RR을 리만 곡률Riemannian curvature 혹은 리만 곡률 텐서Riemannian curvature tensor라 한다.

∇\nabla는 MM 위의 레비-치비타 접속, [⋅,⋅][ \cdot, \cdot]는 리 브라켓이다.

설명

다시 말하자면, RR은 두 벡터필드 X,YX, Y를 R(X,Y)R(X, Y)라는 함수로 대응하고, 다시 R(X,Y)R(X, Y)는 벡터필드 ZZ를 (1)(1)과 같이 대응시키는 함수이다. 따라서 사실은 다음과 같이 표기해도 문제는 없다.

R:X(M)×X(M)×X(M)→X(M)R(X,Y,Z)=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,Z∈X(M) R : \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \frak{X}(M) \\[1em] R(X,Y,Z) = \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z, \quad Z \in \frak{X}(M)

다만 R(X,Y,Z)R(X,Y,Z)의 값을 보면 알 수 있듯이 이는 ZZ로 깔끔하게 묶인다. 또한 X,YX, Y는 미분해주는 변수로 쓰이고 ZZ는 미분당하는 변수로 쓰이기 때문에 이러한 역할을 구분하기 위해서 관습적으로 R(X,Y)ZR(X, Y) Z와 같이 표기한다.

또한 정의 (1)(1)에서 교재마다 부호의 차이가 있을 수 있지만 본질적으로는 같다.

중복으로 사용되는 표기법

리만곡률텐서 RR에 대해서, R:X(M)×X(M)×X(M)×X(M)→D(M)R: \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)을 다음과 같이 정의한다.

R(X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)=⟨R(X,Y)Z,W⟩ R(X, Y, Z, W) := g(R(X, Y)Z, W) = \left\langle R(X, Y)Z, W \right\rangle

이를 리만곡률텐서라고 한다. 정의에서 소개한 것도 리만곡률텐서 RR이고 이것도 리만곡률텐서 RR이다. 이렇게 중복으로 쓰는 이유는 이 둘이 메트릭을 곱해준 차이밖에 나지 않는, 사실상 같은 것이기 때문이다.

좌표계 표현

TpMT_{p}M의 기저를 {Xi}\left\{ X_{i} \right\}라고 하자. R(Xi,Xj)XkR(X_{i},X_{j})X_{k}를 다음과 같이 표기한다.

R(Xi,Xj)Xk=∑sRijksXs R(X_{i},X_{j})X_{k} = \sum_{s}R_{ijk}^{s}X_{s}

R(Xi,Xj,Xk,Xl)R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l})는 다음과 같이 표기한다.

Rijkl=R(Xi,Xj,Xk,Xl)=g(R(Xi,Xj)Xk,Xl)=∑sRijksgsl R_{ijkl} = R(X_{i}, X_{j}, X_{k}, X_{l}) = g\left( R(X_{i}, X_{j})X_{k}, X_{l} \right) = \sum_{s}R_{ijk}^{s}g_{sl}

예: 유클리드 공간

M=RnM = \mathbb{R}^{n}이라고 하자. 유클리드 공간은 굽어있지 않은 평평한 공간이다. 따라서 우리는 R(X,Y)Z=0R(X,Y)Z = 0이 나오길 기대한다. 반대로 이러한 결과가 나오지 않으면 정의 (1)(1)이 가치있는 의미를 지니지 못한다고 말할 수 있다. X,ZX, Z를 다음과 같이 두자.

X=(X1,…,Xn)=∑Xi∂∂xi and Z=(Z1,…,Zn)=∑Zk∂∂xk X = (X^{1}, \dots, X^{n}) = \sum X^{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \text{ and } Z = (Z^{1}, \dots, Z^{n}) = \sum Z^{k}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

∇XZ\nabla_{X}Z는 다음과 같다.

∇XZ=∑i,k(Xi∂Zk∂xi+∑jXiZjΓijk)∂∂xk \nabla_{X}Z = \sum_{i,k} \left( X^{i}\dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j}X^{i}Z^{j}\Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

이때 유클리드 공간에서는 Γijk=0\Gamma_{ij}^{k} = 0이므로 다음을 얻는다.

∇XZ=∑i,kXi(∂Zk∂xi)∂∂xk=∑k(∑iXi∂Zk∂xi)∂∂xk=∑kXZk∂∂xk=(XZ1,…,XZn) \begin{align*} \nabla_{X} Z &= \sum_{i,k} X^{i} \left( \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} \left( \sum_{i} X^{i} \dfrac{\partial Z^{k}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \sum_{k} X Z^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ &= \left( XZ^{1}, \dots, XZ^{n} \right) \end{align*}

같은 방식으로 다음을 얻는다.

∇Y∇XZ=(YXZ1,…,YXZn) \nabla_{Y} \nabla_{X} Z = \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right)

따라서

R(X,Y)Z=∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z=(YXZ1,…,YXZn)−(XYZ1,…,XYZn)+((XY−YX)Z1,…,(XY−YX)Zn)=0 \begin{align*} R(X, Y) Z &= \nabla_{Y} \nabla_{X} Z - \nabla_{X} \nabla_{Y} Z + \nabla_{[X,Y]}Z \\ &= \left( YXZ^{1}, \dots, YXZ^{n} \right) - \left( XYZ^{1}, \dots, XYZ^{n} \right) \\ &\quad + \left( (XY-YX)Z^{1}, \dots, (XY-YX)Z^{n} \right) \\ &= 0 \end{align*}

■

성질

(a) RR은 이중선형이다. 즉,

R(fX1+gX2,Y1)=fR(X1,Y1)+gR(X2,Y1)R(X1,fY1+gY2)=fR(X1,Y1)+gR(X1,Y2) \begin{align*} R(f X_{1} + gX_{2}, Y_{1}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{2}, Y_{1}) \\[1em] R(X_{1}, fY_{1} + gY_{2}) &= fR(X_{1}, Y_{1}) + gR(X_{1}, Y_{2}) \end{align*}

여기서 f,g∈D(M)f, g \in \mathcal{D}(M), X1,X2,Y1,Y2∈X(M)\quad X_{1}, X_{2}, Y_{1}, Y_{2} \in \frak{X}(M)이다.

(b) 임의의 X,Y∈X(M)X, Y \in \frak{X}(M)에 대해서, R(X,Y)R(X, Y)는 선형이다. 즉,

R(X,Y)(Z+W)=R(X,Y)Z+R(X,Y)WR(X,Y)fZ=fR(X,Y)Z \begin{align*} R(X, Y) (Z + W) &= R(X, Y) Z + R(X, Y) W \\[1em] R(X, Y) fZ &= f R(X, Y) Z \end{align*}

여기서 f∈D(M)f \in \mathcal{D}(M), Z,W∈X(M)\quad Z, W \in \frak{X}(M)이다.

증명

(b)

첫번째 성질은 접속의 정의에 의해 자명하다. 따라서 두번째 줄만 증명한다.

R(X,Y)fZ=∇Y∇XfZ−∇X∇YfZ+∇[X,Y]fZ R(X, Y) fZ = \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]}fZ

우선 첫번째 항을 계산해보면 접속의 정의에 의해,

∇Y∇X(fZ)=∇Y(f∇XZ+(Xf)Z)=∇Y(f∇XZ)+∇Y((Xf)Z)=f∇Y∇XZ+(Yf)∇XZ+(Xf)∇Y(Z)+(Y(Xf))Z \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X} Z + (Xf)Z) \\ &= \nabla_{Y}(f\nabla_{X}Z) + \nabla_{Y}((Xf)Z) \\ &= f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z + (Yf)\nabla_{X}Z + (Xf)\nabla_{Y}(Z) + (Y(Xf))Z \end{align*}

이와 비슷하게 계산하면,

∇X∇Y(fZ)=f∇X∇YZ+(Xf)∇YZ+(Yf)∇X(Z)+(X(Yf))Z \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) = f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z + (Xf)\nabla_{Y}Z + (Yf)\nabla_{X}(Z) + (X(Yf))Z

따라서 다음을 얻는다.

∇Y∇X(fZ)−∇X∇Y(fZ)=f∇Y∇XZ+(Yf)∇XZ+(Xf)∇YZ+YXfZ−(f∇X∇YZ+(Xf)∇YZ+(Yf)∇XZ+XYfZ)=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)+YXfZ−XYfZ=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)−([X,Y]f)Z \begin{align*} \nabla_{Y} \nabla_{X} (fZ) - \nabla_{X}\nabla_{Y}(fZ) &= {\color{blue}f\nabla_{Y}\nabla_{X}Z} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + YXfZ \\ &\quad - \left( {\color{blue}f\nabla_{X}\nabla_{Y}Z} + {\color{green}\cancel{\color{black}(Xf)\nabla_{Y}Z}} + {\color{red}\cancel{\color{black}(Yf)\nabla_{X}Z}} + XYfZ \right) \\ &= {\color{blue}f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z)} + YXfZ - XYfZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z \end{align*}

또한 ∇[X,Y]fZ=f∇[X,Y]Z+([X,Y]f)Z\nabla_{[X,Y]} fZ = f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z이므로, 마지막으로 계산하면 다음과 같다.

R(X,Y)fZ=∇Y∇XfZ−∇X∇YfZ+∇[X,Y]fZ=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)−([X,Y]f)Z+f∇[X,Y]Z+([X,Y]f)Z=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ)+f∇[X,Y]Z=f(∇Y∇XZ−∇X∇YZ+∇[X,Y]Z)=fR(X,Y)Z \begin{align*} R(X, Y) fZ &= \nabla_{Y} \nabla_{X} fZ - \nabla_{X} \nabla_{Y} fZ + \nabla_{[X,Y]} fZ \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) - ([X,Y]f)Z + f\nabla_{[X,Y]}Z + ([X,Y]f)Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z) + f\nabla_{[X,Y]}Z \\ &= f(\nabla_{Y}\nabla_{X}Z - \nabla_{X}\nabla_{Y}Z + \nabla_{[X,Y]}Z) \\ &= fR(X, Y) Z \end{align*}

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  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p89-90 ↩︎