📂位相幾何学

位相空間における連結性とは

定義 ¹

位相空間 $X$において$A \cap B = \emptyset$と$A \cup B = X$を満たす開集合$A \ne \emptyset$、$B \ne \emptyset$が存在すれば、$X$を非連結^disconnected空間という。非連結空間でなければ連結^connected空間という。

定理

説明

連結でないことを表現するには非常に直観的な定義であり、その否定である連結もまた容易に納得できるだろう。グラフ理論でもこれと類似して連結を定義する。

例としてユークリッド空間 $( \mathbb{R} , d )$を考えてみると、どのような開区間を考えても非連結の条件を満たせないため連結空間である。一方でその部分空間$( \mathbb{Q}, d )$を考えてみると、$( \mathbb{Q} , d ) = ( \mathbb{Q} , \mathscr{P} ( \mathbb{Q} ) )$が離散空間であるため非連結空間であることが容易に示せる。

証明

1

位相同型写像$f : X \to Y$が存在し、$X$が連結空間であるとしよう。$Y$が連結空間であることを示せば証明は終わる。

$Y$が非連結空間であると仮定すると $$ A \cap B = \emptyset \\ A \cup B = Y $$ を満たす開集合$A, B \subset Y$が存在する。

$f$が連続関数ならば、すべての開集合$V \subset Y$に対して、$f^{-1} (V)$が$X$において開集合である。

$Y$は連続関数であるため、$f^{-1} (A)$と$f^{-1} (B)$は$X$において開集合である。しかし $$ f^{-1} (A) \cap f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cap B) = f^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset \\ f^{-1} (A) \cup f^{-1} (B) = f^{-1} (A \cup B) = f^{-1} ( Y ) = X $$ である。結局$X$は非連結空間となるが、これは前提に矛盾する。

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2

自明空間$X$の位相$\mathscr{T} = \left\{ \emptyset , X \right\}$には空集合でない二つの開集合が存在しないため、$X$は連結空間である。

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3

$X$の元が一つだけであれば離散空間である以前に自明空間であるため、$X$は二つ以上の元を持つと仮定しなければならないだろう。離散空間$X$において空集合でないすべての開集合$U$に対して$V = X \setminus U$が$X$において開集合であるため非連結空間である。

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4

$A , B \subset \left\{ x \right\}$に対して$A \cap B = \emptyset$を満たすためには$A$または$B$が必ず空集合でなければならないため、非連結空間にはなり得ない。

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