📂양자역학

동시 고유함수를 갖는 두 연산자는 교환가능하다

정리

서로 다른 두 연산자가 같은 고유함수를 가지면 두 연산자는 교환 가능하다. 다시 말해 다음의 식이 성립하면, $[A, B] = 0$이다.

$$\begin{cases} A\psi=a\psi \\ B\psi=b\psi \end{cases}$$

이때 $\psi$는 규격화된 고유함수이다.

역

위 정리의 역이 성립한다. 즉 두 연산자가 교환가능한 것과 동시 고유함수를 갖는 것은 필요충분조건이다.

설명

두 연산자가 공통으로 갖는 고유함수 $\psi$를 교재에선 동시 고유함수^{simultaneous eigenfunction}라 부르기도 한다.¹

증명

$$\begin{align*} AB\psi &= Ab\psi \\ &= bA\psi \\ &= ba\psi \\ &= ab\psi \\ &= aB\psi \\ &= Ba\psi \\ &= BA\psi \end{align*}$$

$$\implies AB \psi - BA \psi = (AB-BA) \psi = 0$$

$$\implies (AB - BA) = [A, B] = 0$$

■

역

두 연산자 $A$, $B$가 교환가능하다고 하자. 그리고 각 연산자에 대한 고유값 방정식이 다음과 같다고 하자.

$$A\psi_{a} = a\psi_{a} \\ B\psi_{b} = b\psi_{b}$$