제1 기본 형식, 리만 메트릭
📂기하학 제1 기본 형식, 리만 메트릭 빌드업 리만 메트릭이란 곡면 위의 곡선의 길이를 구하는 과정에서 나오는 개념이며, 그 과정은 다음과 같다.
α ( t ) \boldsymbol{\alpha}(t) α ( t ) 단순 곡면 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 정칙 곡선 이라고 하자. ( u 1 , u 2 ) (u_{1}, u_{2}) ( u 1 , u 2 ) U U U α \boldsymbol{\alpha} α
α ( t ) = x ( u 1 ( t ) , u 2 ( t ) )
\boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(u_{1}(t), u_{2}(t))
α ( t ) = x ( u 1 ( t ) , u 2 ( t ))
이때 a ≤ t ≤ b a \le t \le b a ≤ t ≤ b α \boldsymbol{\alpha} α 다음과 같이 정의 된다.
∫ a b ∣ d α d t ∣ d t
\int_{a}^{b} \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| dt
∫ a b d t d α d t
피적분함수를 풀어보면 다음과 같다.
∣ d α d t ∣ = ⟨ d α d t , d α d t ⟩ = ⟨ d x ( u 1 , u 2 ) d t , d x ( u 1 , u 2 ) d t ⟩
\begin{align*}
\left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} , \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right\rangle}
\\ =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} , \dfrac{d \mathbf{x}(u_{1}, u_{2})}{d t} \right\rangle}
\end{align*}
d t d α = = ⟨ d t d α , d t d α ⟩ ⟨ d t d x ( u 1 , u 2 ) , d t d x ( u 1 , u 2 ) ⟩
연쇄법칙 에 의해
∣ d α d t ∣ = ⟨ ∂ x ∂ u 1 d u 1 d t + ∂ x ∂ u 2 d u 2 d t , ∂ x ∂ u 1 d u 1 d t + ∂ x ∂ u 2 d u 2 d t ⟩ = ⟨ x 1 d u 1 d t + x 2 d u 2 d t , x 1 d u 1 d t + x 2 d u 2 d t ⟩
\begin{align*}
\left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{\left\langle \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle}
\\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle}
\end{align*}
d t d α = = ⟨ ∂ u 1 ∂ x d t d u 1 + ∂ u 2 ∂ x d t d u 2 , ∂ u 1 ∂ x d t d u 1 + ∂ u 2 ∂ x d t d u 2 ⟩ ⟨ x 1 d t d u 1 + x 2 d t d u 2 , x 1 d t d u 1 + x 2 d t d u 2 ⟩
이때 x 1 : = ∂ x ∂ u 1 , x 2 : = ∂ x ∂ u 2 \mathbf{x}_{1} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{1}}, \mathbf{x}_{2} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{2}} x 1 := ∂ u 1 ∂ x , x 2 := ∂ u 2 ∂ x
∣ d α d t ∣ = ⟨ x 1 d u 1 d t + x 2 d u 2 d t , x 1 d u 1 d t + x 2 d u 2 d t ⟩ = ( d u 1 d t ) 2 ⟨ x 1 , x 1 ⟩ + d u 1 d t d u 2 d t ⟨ x 1 , x 2 ⟩ + d u 2 d t d u 1 d t ⟨ x 2 , x 1 ⟩ + ( d u 2 d t ) 2 ⟨ x 2 , x 2 ⟩
\begin{align*}
& \left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right|
\\ =&\ \sqrt{\left\langle \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt}, \mathbf{x}_{1}\dfrac{d u_{1}}{dt} + \mathbf{x}_{2}\dfrac{d u_{2}}{dt} \right\rangle}
\\ =&\ \sqrt{\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle + \dfrac{d u_{2}}{dt}\dfrac{d u_{1}}{dt} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{1} \right\rangle + \left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{2} \right\rangle}
\end{align*}
= = d t d α ⟨ x 1 d t d u 1 + x 2 d t d u 2 , x 1 d t d u 1 + x 2 d t d u 2 ⟩ ( d t d u 1 ) 2 ⟨ x 1 , x 1 ⟩ + d t d u 1 d t d u 2 ⟨ x 1 , x 2 ⟩ + d t d u 2 d t d u 1 ⟨ x 2 , x 1 ⟩ + ( d t d u 2 ) 2 ⟨ x 2 , x 2 ⟩
이때 위 식에서 내적을 g i j = ⟨ x i , x j ⟩ g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle g ij = ⟨ x i , x j ⟩ ∑ \sum ∑
∣ d α d t ∣ = ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 g i j d u i d t d u j d t = g i j d u i d t d u j d t
\begin{align*}
\left| \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} \right| =&\ \sqrt{ \sum \limits_{i=1}^{2}\sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}}
\\ =&\ \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}}
\end{align*}
d t d α = = i = 1 ∑ 2 j = 1 ∑ 2 g ij d t d u i d t d u j g ij d t d u i d t d u j
두번째 등호에서 아인슈타인 표기법 으로 합기호를 생략했다.
정의 g i j = ⟨ x i , x j ⟩ g_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle g ij = ⟨ x i , x j ⟩ 리만 메트릭 의 계수 the coefficient of the Riemannian metric 혹은 제1 기본형식 the first fundamental form 의 계수라고 한다.
M M M R 3 \mathbb{R}^{3} R 3 곡면 , p ∈ M p \in M p ∈ M X , Y \mathbf{X}, \mathbf{Y} X , Y p p p 탄젠트 벡터 라고 하자. 그러면 M M M 고유조각사상 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 다음과 같이 표현된다.
X = X 1 x 1 + X 2 x 2 and Y = Y 1 x 1 + Y 2 x 2
\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2}
X = X 1 x 1 + X 2 x 2 and Y = Y 1 x 1 + Y 2 x 2
다음과 같은 쌍선형 형식 I I I x \mathbf{x} x 리만 메트릭 Riemannian metric 혹은 제1 기본 형식 the first fundamental form 이라 정의한다.
I : T p M × T p M → R
I : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}
I : T p M × T p M → R
I ( X , Y ) = ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 g i j X i Y j = g i j X i Y j = [ X 1 X 2 ] [ g 11 g 12 g 21 g 22 ] [ Y 1 Y 2 ]
I (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} g_{ij}X^{i}Y^{j} = g_{ij}X^{i}Y^{j}
= \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix}
I ( X , Y ) = i = 1 ∑ 2 j = 1 ∑ 2 g ij X i Y j = g ij X i Y j = [ X 1 X 2 ] [ g 11 g 21 g 12 g 22 ] [ Y 1 Y 2 ]
계수들의 행렬 [ g i j ] \left[ g_{ij} \right] [ g ij ] 행렬식 을 g g g
g : = det ( [ g i j ] ) = ∣ g 11 g 12 g 21 g 22 ∣ = g 11 g 22 − g 12 g 21
g := \det (\left[ g_{ij} \right]) = \begin{vmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22}\end{vmatrix} = g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21}
g := det ( [ g ij ] ) = g 11 g 21 g 12 g 22 = g 11 g 22 − g 12 g 21
행렬 [ g i j ] \left[ g_{ij} \right] [ g ij ] 역행렬 의 ( k , l ) (k,l) ( k , l ) g k l g^{kl} g k l
( g 11 g 12 g 21 g 22 ) − 1 = 1 det [ g i j ] ( g 22 − g 21 g 12 g 22 ) = 1 g ( g 22 − g 21 g 12 g 22 ) = ( g 22 g − g 21 g − g 12 g g 11 g ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 )
\begin{align*}
\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} ^{-1}
=&\ \dfrac{1}{\det \left[ g_{ij} \right]} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix}
= \dfrac{1}{g} \begin{pmatrix} g_{22} & - g_{21} \\ g_{12} & g_{22} \end{pmatrix}
\\[1em] =&\ \begin{pmatrix}\dfrac{g_{22}}{g} & - \dfrac{g_{21}}{g} \\[1em] -\dfrac{g_{12}}{g} & \dfrac{g_{11}}{g} \end{pmatrix}
\\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\[1em] g^{21} & g^{22} \end{pmatrix}
\end{align*}
( g 11 g 21 g 12 g 22 ) − 1 = = = det [ g ij ] 1 ( g 22 g 12 − g 21 g 22 ) = g 1 ( g 22 g 12 − g 21 g 22 ) g g 22 − g g 12 − g g 21 g g 11 g 11 g 21 g 12 g 22
설명 요즘은 제1 기본 형식이라는 말은 거의 쓰이지 않고, 리만 메트릭이라는 말만 주로 쓰인다고 한다. 메트릭이라는 이름이 붙은 것은 빌드업에서 보이듯이 곡면위의 곡선의 길이를 재는데 사용하기 때문이다.
E = g 11 E = g_{11} E = g 11 F = g 21 = g 12 F=g_{21}=g_{12} F = g 21 = g 12 G = g 22 G=g_{22} G = g 22
곡선 이론에서는 나오지 않았던 리만 메트릭이라는 개념이 나온 이유는 탄젠트 공간의 기저 { x 1 , x 2 } \left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\} { x 1 , x 2 } 정규 직교 기저 가 아니기 때문이다. 정규직교기저이면 g i j = δ i j g_{ij} = \delta_{ij} g ij = δ ij δ \delta δ 크로네커 델타 이다. 리만 메트릭과 아인슈타인 표기법을 사용하여 곡면 위의 곡선 α \boldsymbol{\alpha} α
L ( α ) = length of α = ∫ a b g i j d u i d t d u j d t d t = ∫ a b g i j α i ′ α j ′ d t = ∫ a b E ( d u 1 d t ) 2 + 2 F d u 1 d t d u 2 d t + G ( d u 2 d t ) 2 d t
\begin{align*}
L (\boldsymbol{\alpha}) =&\ \text{length of } \boldsymbol{\alpha}
\\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \dfrac{d u_{i}}{dt}\dfrac{d u_{j}}{dt}} dt
\\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ g_{ij} \alpha_{i}^{\prime} \alpha_{j}^{\prime} } dt
\\ =&\ \int_{a}^{b} \sqrt{ E\left( \dfrac{d u_{1}}{dt} \right)^{2} + 2F\dfrac{d u_{1}}{dt}\dfrac{d u_{2}}{dt} + G\left( \dfrac{d u_{2}}{dt} \right)^{2}} dt
\end{align*}
L ( α ) = = = = length of α ∫ a b g ij d t d u i d t d u j d t ∫ a b g ij α i ′ α j ′ d t ∫ a b E ( d t d u 1 ) 2 + 2 F d t d u 1 d t d u 2 + G ( d t d u 2 ) 2 d t
곡면의 넓이 또한 리만 메트릭의 적분으로 정의된다.
단순 곡면 x \mathbf{x} x R R R Q = x − 1 ( R ) Q = \mathbf{x}^{-1}(R) Q = x − 1 ( R ) Q ⊂ U ⊂ R 2 Q \subset U \subset \R^{2} Q ⊂ U ⊂ R 2 R R R area of R = ∬ Q g d u 1 d u 2 = ∬ Q ∣ x 1 × x 2 ∣ d u 1 d u 2 = ∬ Q E G − F 2 d u 1 d u 2
\text{area of } R = \iint _{Q} \sqrt{g} du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right| du_{1}du_{2} = \iint _{Q} \sqrt{EG-F^{2}} du_{1}du_{2}
area of R = ∬ Q g d u 1 d u 2 = ∬ Q ∣ x 1 × x 2 ∣ d u 1 d u 2 = ∬ Q EG − F 2 d u 1 d u 2
성질 단순 곡면 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3
(a) g = ∣ x 1 × x 2 ∣ 2 g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2} g = ∣ x 1 × x 2 ∣ 2
(b) g 11 = g 22 g and g 12 = g 21 = − g 12 g and g 22 = g 11 g g^{11} = \dfrac{g_{22}}{g} \quad \text{and} \quad g^{12} = g^{21} = -\dfrac{g_{12}}{g} \quad \text{and} \quad g^{22} = \dfrac{g_{11}}{g} g 11 = g g 22 and g 12 = g 21 = − g g 12 and g 22 = g g 11
(c) ∀ i , j \forall i,j ∀ i , j ∑ k = 1 2 g i k g k j = δ i j \sum \limits_{k=1}^{2} g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j} k = 1 ∑ 2 g ik g kj = δ i j
이때 δ \delta δ 크로네커 델타 이다.
증명 (a) 외적의 성질 과 리만 메트릭의 정의에 의해 다음이 성립한다.
∣ x 1 × x 2 ∣ 2 = ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 sin 2 θ = ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 ( 1 − cos 2 θ ) = ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 ( 1 − x 1 ⋅ x 2 ∣ x 1 ∣ ∣ x 2 ∣ ) = ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 − ( x 1 ⋅ x 2 ) 2 = g 11 g 22 − g 12 g 21 = det ( [ g i j ] ) = g
\begin{align*}
\left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2} =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} \sin ^{2} \theta
\\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \cos ^{2} \theta \right)
\\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2}\left(1- \dfrac{\mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2}}{\left| \mathbf{x}_{1} \right| \left| \mathbf{x}_{2} \right| } \right)
\\ =&\ \left| \mathbf{x}_{1} \right|^{2} \left| \mathbf{x}_{2} \right|^{2} - \left( \mathbf{x}_{1} \cdot \mathbf{x}_{2} \right)^{2}
\\ =&\ g_{11}g_{22} - g_{12}g_{21}
\\ =&\ \det( [g_{ij}] )
\\ =&\ g
\end{align*}
∣ x 1 × x 2 ∣ 2 = = = = = = = ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 sin 2 θ ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 ( 1 − cos 2 θ ) ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 ( 1 − ∣ x 1 ∣ ∣ x 2 ∣ x 1 ⋅ x 2 ) ∣ x 1 ∣ 2 ∣ x 2 ∣ 2 − ( x 1 ⋅ x 2 ) 2 g 11 g 22 − g 12 g 21 det ([ g ij ]) g
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(b) 정의와 같다.
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(c) [ g k l ] [g^{kl}] [ g k l ] [ g i j ] [g_{ij}] [ g ij ]
( 1 0 0 1 ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) = ( g 11 g 11 + g 12 g 21 g 11 g 12 + g 12 g 22 g 21 g 11 + g 22 g 21 g 21 g 12 + g 22 g 22 )
\begin{align*}
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =&\ \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} \\ g^{21} & g^{22} \end{pmatrix}
\\[1em] =&\ \begin{pmatrix} g_{11}g^{11}+g_{12}g^{21} & g_{11}g^{12} + g_{12}g^{22} \\[1em] g_{21}g^{11} + g_{22}g^{21} & g_{21}g^{12} + g_{22}g^{22} \end{pmatrix}
\end{align*}
( 1 0 0 1 ) = = ( g 11 g 21 g 12 g 22 ) ( g 11 g 21 g 12 g 22 ) g 11 g 11 + g 12 g 21 g 21 g 11 + g 22 g 21 g 11 g 12 + g 12 g 22 g 21 g 12 + g 22 g 22
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