📂편미분방정식

헬름홀츠 방정식

정의

다음의 편미분 방정식을 헬름홀츠 방정식^{Helmholtz equation}이라 한다.

$$\nabla^{2}u(x) + k^{2} u(x) = \Delta u(x) + k^{2} u(x) = (\Delta + k^{2} )u(x) = 0,\quad x \in \mathbb{R}^{n}$$

여기서 $\nabla ^{2} = \Delta$는 라플라시안이다.

설명

$-\Delta u = \lambda u$와 같은 꼴로 표현할 수도 있다. 이러한 꼴로 인하여 라플라스 오퍼레이터에 대한 고유값 방정식¹이라 불리기도 한다.

파동 방정식으로부터 유도될 수 있기 때문에 reduced wave equation²이라 불리기도 한다.

파동 방정식에는 시간과 공간에 대한 미분이 모두 포함되어있지만, 헬름홀츠 방정식은 시간에 대한 항이 사라져 시간에 무관한, 공간 변수에만 의존하는 편미분방정식이다.

유도

파동 방정식은 다음과 같다.

$$\Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0$$

이때 $c$는 파동의 속도를 의미한다.

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방법1

파동 방정식의 해, 그러니까 파동함수는 다음과 같다.

$$u (x,t) = u(x)u(t) = e^{ikx} e^{-i\omega t} = e^{i(kx - \omega t)}$$

이때 $x , t$는 각각 공간과 시간, $k, \omega$는 파수^{wave number}와 각진동수^{angular frequency}이다. 파동의 속도가 $c$일 때 다음의 관계가 성립한다.

$$k = \dfrac{\omega}{c}$$

따라서 $u_{tt}(x,t)$를 구해보면 다음과 같다.

$$u_{tt}(x,t) = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}e^{i(kx - \omega t)} = (-i \omega)^{2}e^{i(kx - \omega t)} = -\omega^{2}e^{i(kx - \omega t)}$$

이를 파동 방정식에 대입하면 헬름홀츠 방정식을 얻는다.

$$\begin{align*} && \Delta u - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{i(kx - \omega t)} + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} e^{i(kx - \omega t)} =&\ 0 \\[1em] \implies && \left( \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx} \right) e^{-i\omega t}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*}$$

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방법2

파동 방정식을 $t$에 대해서 푸리에 변환하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && \Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}u_{tt}(x,t) =&\ 0 \\ \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) - \dfrac{1}{c^{2}} \widehat{u_{tt}}(x,\omega) =&\ 0 \end{align*}$$

이때 두번째 항에 푸리에 변환의 성질 $\widehat{u^{\prime \prime}}(\omega) = - \omega^{2} \widehat{u}(\omega)$를 이용하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + k^{2} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \end{align*}$$

$u(x,t)$가 변수분리된다고 가정하면,

$$\begin{align*} && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) u(t) + k^{2} u(x) u(t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*}$$

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방법3

$u(x, t) = u(x)v(t)$와 같이 변수분리된다고 가정하고, 다음과 같이 식을 정리하자.

$$\begin{align*} && \dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} v =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} u \\[1em] \implies && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{1}{v}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} \end{align*}$$

그러면 좌변은 $t$에 무관하고, 우변은 $x$에 무관하므로 양변은 $x$와 $t$에 대해서 상수라는 것을 알 수 있다. 그 상수를 $-k^{2}$라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2}u \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} + k^{2}u =&\ 0 \end{align*}$$

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