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유계 선형 작용소의 확장 정리 📂바나흐공간

유계 선형 작용소의 확장 정리

정리1 2

V1,V2V_{1}, V_{2}를 바나흐 공간이라고 하자. W⊂V1W \subset V_{1}를 조밀 부분공간이라고 하자. 그리고 T:W→V2T : W \to V_{2}를 유계 선형 작용소라고 하자. 그러면 모든 v∈W\mathbf{v} \in W에 대해서 T~(v)=T(v)\widetilde{T}(\mathbf{v}) = T(\mathbf{v})를 만족하는 유계 선형 작용소

T~:V1→V2 \widetilde{T} : V_{1} \to V_{2}

가 유일하게 존재한다. 또한 다음이 성립한다.

∥T~∥=∥T∥ \| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

설명

T~\widetilde{T}를 TT의 확장이라 한다.

1.gif 정리에서 T~\widetilde{T}가 구체적으로 어떻게 생겼는지는 말하지 않았지만, 증명 과정에서 구체적으로 주어지게 된다. 조밀한 부분공간에서 확장이 가능한 만큼 수열의 수렴을 통해 정의된다. 이렇게 확장시킨 작용소 T~\widetilde{T}는 자연스럽게 TT로 표기하여 사용하기도 한다.

유계선형작용소 T:W→VT : W \to V와 w∈W‾∖W\mathbf{w} \in \overline{W}\setminus W가 있을 때, TwT \mathbf{w}를 정의하고 싶지만 TT의 정의역은 WW로 제한되므로 불가능하다. 이때 w\mathbf{w}로 수렴하는 수열 {wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}는 WW에 존재하므로 TwT \mathbf{w}를 ‘간접적’으로 다음과 같이 그럴듯하게 정의할 수 있다.

T(w):=lim⁡k→∞T(wk) T (\mathbf{w}) := \lim \limits_{k \to \infty} T(\mathbf{w}_{k})

이를 말로 풀어쓰면 다음과 같다.

w\mathbf{w}는 원래 TT의 정의역에 속해있지 않으므로 TwT \mathbf{w}를 정의할 수 없다. 하지만 w\mathbf{w}로 수렴하는 수열 {wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}가 TT의 정의역안에 있다. 따라서 wk→w\mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}일 때 Twk→TwT \mathbf{w}_{k} \to T \mathbf{w}일테니 Tw:=lim⁡k→∞TwkT \mathbf{w} := \lim\limits_{k\to \infty}T \mathbf{w}_{k}와 같이 정의하면 자연스럽고 그럴듯하다. 그리고 이것이 실제로 가능하다.

따라서 어떤 바나흐 공간 WW에서 정의된 유계선형작용소 T:W→VT : W \to V는 WW에서 VV로의 매핑을 유지한채로 WW의 클로져 W‾\overline{W}까지는 위와 같은 방식으로 정의역을 확장시킬 수 있음 위 정리로부터 보장된다.

증명

v∈V1\mathbf{v} \in V_{1}이라고 하자. WW가 V1V_{1}에서 조밀하다고 가정했으므로, v\mathbf{v}로 수렴하는 수열 {vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}가 존재한다.

lim⁡k→∞vk=v \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v}

TT가 유계이고 선형이므로 ℓ,k∈N\ell, k \in \N에 대해서 다음이 성립한다.

∥Tvk−Tvℓ∥=∥T(vk−vℓ)∥≤∥T∥∥vk−vℓ∥ \left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v}_{\ell} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}_{\ell} \right\|

이때 {vk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}가 코시수열이므로 위 식에 의해서 {Tvk}\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}도 코시수열이 된다. 따라서 V2V_{2}는 바나흐 공간이므로 {Tvk}\left\{ T \mathbf{v}_{k} \right\}는 V2V_{2}내의 어떤 원소로 수렴하게 된다. 이로부터 T~\widetilde{T}를 다음과 같이 정의하자.

T~v:=lim⁡k→∞Tvk \widetilde{T} \mathbf{v} := \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k}

그러면 모든 v∈W\mathbf{v} \in W에 대해서는 유계선형작용소의 성질에 의해 Tvk→TvT \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}가 성립하므로, T~v=Tv\widetilde{T} \mathbf{v} = T \mathbf{v}를 만족한다. 이제 v∈V1∖W\mathbf{v} \in V_{1}\setminus W인 경우에 대해서 생각해보자.

  • Part 1. 수열의 선택에 대한 무관함

    v\mathbf{v}로 수렴하는 WW의 두 수열 {vk},{uk}\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}, \left\{ \mathbf{u}_{k} \right\}를 생각해보자. 만약 v\mathbf{v}가 WW내의 원소였다면 TT가 유계선형작용소이므로, vk,uk→v∈W\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in W일 때 TvkT \mathbf{v}_{k}와 TukT \mathbf{u}_{k}가 같은 값 TvT \mathbf{v}로 수렴함이 보장된다. 하지만 vk,uk→v∈V1∖W\mathbf{v}_{k}, \mathbf{u}_{k} \to \mathbf{v} \in V_{1}\setminus W인 경우에는 이러한 성질을 사용할 수 없으므로, 같은 값으로 수렴하는지 직접 확인해봐야한다.

    이제 다음과 같은 수열 {wk}\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}를 생각해보자.

    {wk}={v1,u1,v2,u2,… } \left\{ \mathbf{w}_{k} \right\} = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{u}_{2}, \dots \right\}

    그러면 lim⁡k→∞wk=v\lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v}가 성립하고, TwkT \mathbf{w}_{k}도 어떤 값 T~v=lim⁡k→∞Twk\widetilde{T} \mathbf{v} = \lim \limits_{k \to \infty} T\mathbf{w}_{k}로 수렴한다. 그런데 TvkT \mathbf{v}_{k}와 TukT \mathbf{u}_{k}는 TwkT\mathbf{w}_{k}의 부분수열이므로 둘 다 같은 극한값을 가져야한다. 따라서 v\mathbf{v}로 수렴하는 어떤 수열을 가져와도 T~v\widetilde{T} \mathbf{v}는 유일하게 결정된다.

  • Part 2. 선형성

    v,w∈V1\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V_{1}이고 vk→v,wk→w\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}, \mathbf{w}_{k} \to \mathbf{w}라고 하자.

    T~(αv+βw)= lim⁡k→∞T(αvk+βwk)= αlim⁡k→∞T(vk)+βlim⁡k→∞T(wk)= αT~(v)+βT~(w) \begin{align*} \widetilde{T} \left( \alpha \mathbf{v} + \beta \mathbf{w} \right) =&\ \lim \limits_{k \to \infty} T \left( \alpha \mathbf{v}_{k} + \beta \mathbf{w}_{k} \right) \\ =&\ \alpha \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{v}_{k} ) + \beta \lim \limits_{k \to \infty} T ( \mathbf{w}_{k} ) \\ =&\ \alpha \widetilde{T} \left(\mathbf{v}\right) + \beta \widetilde{T} \left(\mathbf{w} \right) \end{align*}

  • Part 3. 유계, ∥T~∥=∥T∥\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

    v∈V1\mathbf{v} \in V_{1}이고 vk→v\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}라고 하자. 놈은 연속이므로 극한이 안팎으로 움직일 수 있다. 이 사실과 TT가 유계임을 이용하면,

    ∥T~v∥= ∥lim⁡k→∞Tvk∥= lim⁡k→∞∥Tvk∥≤lim⁡k→∞∥T∥∥vk∥= ∥T∥∥lim⁡k→∞vk∥= ∥T∥∥v∥ \begin{align*} \left\| \widetilde{T} \mathbf{v} \right\| =&\ \left\| \lim \limits_{k \to \infty} T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \mathbf{v}_{k} \right\| \\ \le& \lim \limits_{k \to \infty} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} \right\| \\ =&\ \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*}

    따라서 T~\widetilde{T}는 유계이고, ∥T~∥≤∥T∥\| \widetilde{T} \| \le \left\| T \right\|가 성립한다. 이제 반대방향 부등호가 성립함을 보이자. 우선 v∈W\mathbf{v} \in W인 벡터들에 대해서는 다음이 성립한다.

    ∥T~v∥=∥Tv∥≤∥T∥∥v∥ \| \widetilde{T} \mathbf{v} \| = \| T \mathbf{v} \| \le \| T \| \| \mathbf{v} \|

    하지만 v∈V1∖W\mathbf{v} \in V_{1} \setminus W인 경우에 위와 같이 ∥T∥\| T \|에 의해서 바운드되지 않는 벡터가 있을 수 있다. 따라서 ∥T~∥≥∥T∥\| \widetilde{T} \| \ge \left\| T \right\|가 성립한다는 사실을 알 수 있다. 따라서 양쪽으로의 부등호가 성립하므로 다음을 얻는다.

    ∥T~∥=∥T∥\| \widetilde{T} \| = \left\| T \right\|

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p55 ↩︎

  2. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1989), p99-101 ↩︎