📂바나흐공간

조밀한 부분집합과 클로져

조밀한 부분집합

정의¹

$W \subset V$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 임의의 $\mathbf{v} \in V$와 $\epsilon \gt 0$에 대해서, 다음을 만족하는 $\mathbf{w} \in W$가 항상 존재하면, $W$를 $V$에서 조밀한 부분집합^{dense subset}이라 한다.

$$\left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon$$

설명

만약 $W$가 $V$의 조밀한 부분공간이면, $V$ 내의 임의의 원소는 어떤 $W$의 원소로 잘 근사될 수 있음을 의미한다.

$\mathbf{v} \in V$이고 $\epsilon = \dfrac{1}{k} (k \in \N)$이라고 하자. $W$가 $V$의 조밀한 부분집합이면, 정의에 의해서 다음을 만족하는 $\mathbf{w}_{k} \in W$가 존재한다.

$$\left\| \mathbf{v} - \mathbf{w}_{k} \right\| \le \dfrac{1}{k}$$

따라서 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$는 $k \to \infty$일 때 $\mathbf{v}$로 수렴한다.

$$\lim \limits_{k \to \infty} \mathbf{w}_{k} = \mathbf{v}$$

그러므로 $W$가 $V$의 조밀한 부분집합이라는 것은 $\mathbf{v} \in V$로 수렴하는 $W$의 수열 $\left\{ \mathbf{w}_{k} \right\}$가 존재한다는 말과 같다.

클로져

정의

$W$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 주어진 $\epsilon \gt 0$에 대해서, $\left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon$을 만족하는 $\mathbf{w} \in W$가 존재하는 모든 $\mathbf{v} \in V$들의 집합을 $W$의 클로져^closure라고 정의하고 $\overline{W}$라고 표기한다.

$$\overline{W} := \left\{ \mathbf{v} \in V | \text{for each } \epsilon \gt 0, \exist \mathbf{w} \in W \text{s.t. } \left\| \mathbf{v} - \mathbf{w} \right\| \le \epsilon\right\}$$

설명

조밀한 부분집합과는 반대로 정의된 것을 알 수 있다. 모든 $\mathbf{w}\in W\subset V$는 $\left\| \mathbf{w} - \mathbf{w} \right\| \le 0$을 만족하므로, 당연하게 $W \subset \overline{W}$가 성립한다.

정리

$W$를 놈 공간 $V$의 부분집합이라고 하자. 그러면 $W$가 $V$에서 조밀한 것은 $\overline{W} = V$인 것과 동치이다.

증명

조밀 부분집합과 클로져의 정의에 의해 자명하다.

■