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Lp 공간의 임베딩 정리

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$이 열린 집합이고, $\text{vol}(\Omega) = \int_{\Omega} 1 dx \lt \infty$라고 하자.

(a) $1 \le p \le q \le \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^{q}(\Omega)$이면, $u \in L^{p}(\Omega)$ 이고

$$\begin{equation} \left\| u \right\|_{p} \le \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{equation}$$

그리고 $L^{q}$는 $L^{p}$로 임베딩된다.

$$\begin{equation} L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega) \end{equation}$$

(b) $1 \le p \le q \le \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^{\infty}(\Omega)$이면,

$$\begin{equation} \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} \end{equation}$$

(c) 모든 $1 \le p \lt \infty$에 대해서, $u \in L^{p}(\Omega)$이고 $\left\| u \right\|_{p} \le K$인 $K$가 존재하면,

$$\begin{equation} u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K \end{equation}$$

설명

(a) $1 \le p \le q$일 때, 일반적으로 $L^{p}$ 공간과 $L^{q}$ 공간 사이에 포함 관계는 없다. 다만 도메인의 볼륨이 유한한 상황에서는 $L^{q} \subset L^{p}$가 성립한다.

(b) 위 내용은 $q = \infty$일 때도 성립하므로, $u \in L^{\infty}$이면 모든 $1 \le p \lt \infty$에 대해서 $u \in L^{p}$이고 $\left\| \cdot \right\| _{p}$의 극한이 $\left\| \cdot \right\|_{\infty}$으로 수렴한다.

(c) 가정에서 상수 $K$는 모든 $p$에 대해서 각각 존재한다는 의미가 아니라, 하나의 $K$가 모든 $p$에 대해서 $\left\| u \right\|_{p} \le K$를 만족한다는 의미이다. (a)와 (b)에 의해 $p$가 커질수록 작은 공간이 되므로 ${L^{\infty}(\Omega) = \bigcap\limits_{1 \le p \lt \infty} L^{p}(\Omega)}$와 같이 생각할 수 있다.

증명

(a)

만약 $p = q$이거나 $q = \infty$이면 $(1)$과 $(2)$가 성립함은 자명하다. 따라서 $1 \le p \lt q \lt \infty$이고 $u \in L^{q}(\Omega)$라고 가정하자.

보조정리: 일반화된 횔더 부등식

만약 세 상수 $\alpha \gt 0, \beta \gt 0, \gamma \gt 0$가 $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{1}{\gamma}$을 만족하고 $f \in {L}^{\alpha}(\Omega), g \in {L}^{\beta}(\Omega)$이면 $fg \in L^{\gamma}(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$\| fg \|_{\gamma} = \left( \int_{\Omega} |f(x)g(x)|^{\gamma} dx \right)^{1 / \gamma} \le \| f \|_{\alpha} \| g \|_{\beta}$$

위의 보조정리에 $\alpha = q, \beta = \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}, \gamma = p$와 $f = u$, $g = 1$을 대입하면, $u \in L^{q}(\Omega), 1 \in L^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}(\Omega)$이므로,

$$\begin{align*} && \left( \int_{\Omega} \left| u(x) \cdot 1 \right|^{p} dx \right)^{1 / p} \le& \left\| u \right\|_{q} \left\| 1 \right\|_{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \\ \implies && \left\| u \right\|_{p} \le& \left( \int_{\Omega} 1 dx \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \\ && =&\ \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{align*}$$

따라서 $u \in L^{p}(\Omega)$가 성립한다.

임베딩

• $X$가 $Y$의 부분공간이다.
• $\exists M \gt 0 \text{ such that } \left\| Ix \right\|_{{Y}} \le M \left\| x \right\|_{X},\quad x \in X$

또한 $M = \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}$이라고 하면

$$\left\| u \right\|_{p} \le M \left\| u \right\|_{q}$$

이므로, 임베딩의 정의에 의해 $L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega)$가 임베딩이 됨을 알 수 있다.

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(b)

(a) 의 결과로부터 다음이 성립한다.

$$\limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty}$$

한편, 임의의 $\epsilon \gt 0$에 대해서, 다음의 조건을 만족시키는 양수인 측도 $\mu (A)$를 가지는 집합 $A \subset \Omega$가 존재한다.

$$\left| u(x) \right| \ge \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon,\quad \text{if } x \in A$$

만약 이러한 $A$가 존재하지 않으면, $\left\| u \right\|_{\infty}$는 $\left\| \cdot \right\|_{\infty}$의 정의를 만족시키지 못하므로 $A$의 존재성이 보장된다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$$\int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p} dx \ge \mu (A) \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\left\| u \right\|_{p} \ge \left( \mu (A) \right)^{1/p} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)$$

이는 모든 $\epsilon$과 그에 따른 임의의 $A$에 대해서 성립해야 하므로

$$\liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge \left\| u \right\|_{\infty}$$

따라서

$$\liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty} \le \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p}$$

$$\implies \liminf _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} = \limsup \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p}$$

$$\implies \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty}$$

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(c)

모든 $1 \le p \lt \infty$에 대해서, $\left\| u \right\|_{p} \le K$인 $K$가 존재한다고 하자. 그리고 $u \in L^{\infty}(\Omega)$와 $\left\| u \right\|_{\infty} \le K$ 둘 중 하나라도 성립하지 않는다고 가정해보자. 그러면 $\left\| \cdot \right\|_{\infty}$의 정의에 따라, 다음을 만족하는 상수 $K_{1}$과 집합 $A \subset \Omega$를 찾을 수 있다.

$$K_{1} \gt K \quad \text{and} \quad \mu (A) \gt 0 \quad \text{and} \quad \left| u(x) \right| \gt K_{1} \text{ for } x \in A$$

그러면 (b)의 증명에서와 같이 다음이 성립한다.

$$\liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge K_{1} \gt K$$

이는 모든 $p$에 대해서 $\left\| u \right\|_{p} \le K$라는 가정에 모순이다. 따라서

$$u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K$$

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