📂선형대수

선형변환의 커널, 치역

정의¹

$T : V \to W$를 선형변환이라 하자. $T$가 $\mathbf{0}$으로 매핑하는 $V$의 원소들의 집합을 커널^kernel 혹은 영 공간^{null space}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \text{ker}(T) = N(T) := \left\{ \mathbf{v} \in V : T( \mathbf{v} ) = \mathbf{0} \right\} $$

모든 $\mathbf{v} \in V$의 $T$에 의한 상의 집합을 $T$의 치역^range 혹은 이미지라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ R(T) := \left\{ T(\mathbf{v}) : \forall \mathbf{v} \in V \right\} $$

설명

$T : V \to W$가 선형변환이고 $V, W$가 유한차원이면 $T$는 사실상 행렬과 같고, $N(T)$는 $T$를 나타내는 행렬의 영공간이다.

정리

$T : V \to W$를 선형변환이라고 하자. 그러면

• (a) $T$의 커널은 $V$의 부분공간이다.
• (b) $T$의 치역은 $W$의 부분공간이다.

증명

부분공간임을 보이려면 공집합이 아니고, 덧셈과 상수배에 대해서 닫혀있음을 보이면 된다.

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(a)

$T$가 선형변환이면 $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$이므로 $N(T)$는 공집합이 아니다. 이제 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in N(T)$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} T( \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} ) &= T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} \\ T( k\mathbf{v}_{1}) &= kT(\mathbf{v}_{1}) = k\mathbf{0} = \mathbf{0} \end{align*} $$

따라서 $N(T)$는 $V$의 부분공간이다.

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(b)

$T$가 선형변환이면 $T(\mathbf{0})=\mathbf{0}$이므로 $R(T)$는 공집합이 아니다. 이제 $\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in R(T)$이고 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in V$가 존재함을 보이면 된다.

$$ T(\mathbf{a}) = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \quad \text{and} \quad T(\mathbf{b}) = k\mathbf{w}_{1} $$

그런데 $\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in R(T)$라는 것은 다음을 만족하는 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in V$가 존재한다는 의미이다.

$$ T(\mathbf{v}_{1}) = \mathbf{w}_{1} \quad \text{and} \quad T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{w}_{2} $$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} &= T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{a}) \\ k\mathbf{w}_{1} &= kT(\mathbf{v}_{1}) = T(k\mathbf{v}_{1})= T(\mathbf{b}) \end{align*} $$

따라서 $R(T)$는 $W$의 부분공간이다.

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