📂해석개론

오일러 상수, 자연 상수 e의 정의

정의¹

아래의 급수의 극한을 상수 $e$라고 정의한다.

$$ e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} $$

설명

저 값이 당장에 뭔지는 몰라도 위의 급수가 수렴하여 어떤 극한이 존재한다는 사실은 쉽게 보일 수 있다. 부분합 $s_{n}$은 아래와 같이 유계이면서 증가수열이므로 수렴한다.

$$ \begin{align*} s_{n} &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n} \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} + \cdots \dfrac{1}{\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2}_{n-1}} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \cdots \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &< 1 + 1 + 1 < 3 \end{align*} $$

정리

$$ \lim _{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e $$

혹은

$$ \lim _{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} = e $$

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이를 정의라고 두어도 상관없다. Wade의 교재²에서는 이와 같이 정의한다.

증명

$$ s_{n} = \sum \limits _{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!},\quad t_{n}=\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} $$

이라고 하자.

이항정리

$$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{n} y^{n-r} $$

그러면 이항정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} t_{n} &= {_{n}C_{0}} \cdot 1 + {_{n}C_{1}} \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + n \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}n(n-1)\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + \dfrac{1}{n!}n(n-1)\cdots 2 \cdot 1\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \end{align*} $$

따라서 $\forall n\in \mathbb{N}, t_{n} \le s_{n}$이고 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \le \limsup \limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} = e \end{equation} $$

또한 $n \ge m$이면 다음이 성립한다.

$$ t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right) $$

참고로 우변이 $t_{m}$인 것은 아니고 $t_{n}$에서 뒷부분의 몇 개의 항을 뺀 것이다. 이제 고정된 $m$에 대해서 $\liminf \limits_{n \to \infty}$을 취하면 다음의 식을 얻는다.

$$ \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots + \dfrac{1}{m!} $$

이제 다시 양변에 $m \to \infty$인 극한을 취하면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge e \end{equation} $$

그러면 $\limsup$과 $\liminf$의 정의, 그리고 $(1)$, $(2)$에 의해서 다음이 성립한다.

$$ \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \le e \le \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \implies \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} = e = \limsup \limits_{n \to \infty} t_{n} \implies \lim \limits_{n\to \infty} t_{n} = e $$

같이보기

• 오일러 상수는 $e$는 무리수이다

• $\pi$는 무리수이다