오일러 수, 자연 로그의 밑, 자연 상수 e의 정의
정의1
아래 급수의 극한을 상수 $e$라고 정의한다.
$$ e: = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} $$
이름에 관하여
영어로는 Euler’s number오일러 수 혹은 the base of the natural logarithm자연로그의 밑이라고 한다. 한국에서는 오일러 상수, 자연 상수라는 표현도 많이 쓰이지만, 영어로 Euler constant라고 하면 일반적으로 오일러-마스케로니 상수를 의미하며, nature constant라는 표현은 아예 존재하지 않는다. 그렇다고 해서 오일러 상수, 자연 상수라는 말이 틀린 표현이라고 단정하는 것은 다소 보수적인 시각인 것 같다. 한국인 사이의 의사소통에서는 문제가 없으니 상황에 맞게 사용하되, 영어로 표현할 때는 주의가 필요하다는 점만 알고 있으면 충분하지 않을까 싶다.
일본 위키의 제목이 ネイピア数네이피어 수라고 되어있는걸 봐서는, 오일러 수보다 네이피어 수라는 표현을 주로 쓰는 것 같다.
설명
저 값이 당장에 뭔지는 몰라도 위의 급수가 수렴하여 어떤 극한이 존재한다는 사실은 쉽게 보일 수 있다. 부분합 $s_{n}$은 아래와 같이 유계이면서 증가수열이므로 수렴한다.
$$ \begin{align*} s_{n} &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot n} \\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} + \cdots \dfrac{1}{\underbrace{2 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 2}_{n-1}} \\ &= 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^{2}} + \dfrac{1}{2^{3}} + \cdots \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &< 1 + 1 + 1 < 3 \end{align*} $$
정리
$$ \lim _{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} = e $$
혹은
$$ \lim _{n \to 0} \left( 1 + n \right)^{\frac{1}{n}} = e $$
이를 정의라고 두어도 상관없다. Wade의 교재2에서는 이와 같이 정의한다.
증명
$$ s_{n} = \sum \limits _{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!},\quad t_{n}=\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n} $$
이라고 하자.
$$ (x+y)^{n} = \sum_{r=0}^{n} {_n C _r} x^{n} y^{n-r} $$
그러면 이항정리에 의해 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} t_{n} &= {_{n}C_{0}} \cdot 1 + {_{n}C_{1}} \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + n \dfrac{1}{n}+ {_{n}C_{2}}\dfrac{1}{n^{2}} + {_{n}C_{3}}\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + {_{n}C_{n}}\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}n(n-1)\dfrac{1}{n^{2}} + \dfrac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\dfrac{1}{n^{3}} + \cdots + \dfrac{1}{n!}n(n-1)\cdots 2 \cdot 1\dfrac{1}{n^{n}} \\ &= 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \end{align*} $$
따라서 $\forall n\in \mathbb{N}, t_{n} \le s_{n}$이고 아래의 식이 성립한다.
또한 $n \ge m$이면 다음이 성립한다.
$$ t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right) + \dfrac{1}{3!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right) + \cdots + \dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right) $$
참고로 우변이 $t_{m}$인 것은 아니고 $t_{n}$에서 뒷부분의 몇 개의 항을 뺀 것이다. 이제 고정된 $m$에 대해서 $\liminf \limits_{n \to \infty}$을 취하면 다음의 식을 얻는다.
$$ \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge 1 + 1+ \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots + \dfrac{1}{m!} $$
이제 다시 양변에 $m \to \infty$인 극한을 취하면 다음과 같다.
$$ \begin{equation} \liminf \limits_{n \to \infty} t_{n} \ge e \end{equation} $$
그러면 $\limsup$과 $\liminf$의 정의, 그리고 $(1)$, $(2)$에 의해서 다음이 성립한다.