📂행렬대수

역행렬과 연립 일차 방정식

정리: 가역행렬일 동치 조건¹

$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.

(a) $A$는 가역행렬이다.

(e) $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 해를 갖는다.

(f) $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 모든 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 오직 하나의 해를 갖는다. 즉 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$가 성립한다.

설명

(e) 와 (f) 가 동치라는 말은 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 선형 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$가 최소 하나의 해를 가진다면 정확하게 그 해 하나만을 가진다는 뜻이다.

증명

(a) $\implies$ (f)

$A$가 가역행렬이라고 가정하자. 그러면 $A(A^{-1}\mathbf{b}) = \mathbf{b}$가 성립한다. 우변에 $\mathbf{b} = A \mathbf{x}$를 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && A (A^{-1}\mathbf{b}) &= A \mathbf{x} \\ \implies && A^{-1}\mathbf{b} &= \mathbf{x} \end{align*}$$

따라서 $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$는 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해이다. 이제 임의의 해를 $\mathbf{x}_{0}$라고 하자. 그러면 $A \mathbf{x}_{0} = \mathbf{b}$가 성립하고, 양변에 $A^{-1}$를 곱하면 $\mathbf{x}_{0} = A^{-1} \mathbf{b}$이므로 해는 $\mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b}$로 유일하다.

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(f) $\implies$ (e)

자명하다.

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(e) $\implies$ (a)

선형 시스템 $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$가 모든 $n \times 1$ 행렬 $\mathbf{b}$에 대해서 해를 가진다고 하자. 그러면 다음의 선현 시스템들은 모두 해를 가진다.

$$A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\quad A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\quad A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$$

위 선형 시스템들의 해를 차례로 $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \dots, \mathbf{x}_{n}$이라고 하자. 그리고 이 해들을 열벡터로 가지는 행렬을 $C$라고 하자.

$$C = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{n} \end{bmatrix}$$

$AC$를 계산하면 다음과 같으므로 $C$가 $A$의 역행렬이다. 그러므로 $A$는 가역이다.

$$AC = A\begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A\mathbf{x}_{1} & A\mathbf{x}_{2} & \cdots & A\mathbf{x}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} = I_{n}$$

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