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직교행렬일 동치 조건 📂행렬대수

직교행렬일 동치 조건

정리

n×nn \times n 실수 행렬 AA에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.

(a) AA가 직교행렬이다.

(b) AA의 행 벡터들의 집합은 Rn\mathbb{R}^n의 정규직교집합이다.

(c) AA의 열 벡터들의 집합은 Rn\mathbb{R}^n의 정규직교집합이다.

(d) AA가 내적을 보존한다. 즉 모든 x,y∈Rn\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음이 성립한다.

(Ax)⋅(Ay)=x⋅y (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}

(e) AA가 길이를 보존한다. 즉 모든 x∈Rn\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음이 성립한다.

∥Ax∥=∥x∥ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\|

증명

(a)  ⟺  \iff(b) 와 (a)  ⟺  \iff(c) 는 증명 방법이 같으므로 후자는 생략한다.

(a)   ⟺  \iff (b)

AA를 n×nn\times n 행렬이라고 하고, AA의 행벡터들을 ri\mathbf{r}_{i}로 나타내자.

A=[r1r2⋮rn] A = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}

그러면 AATA A^{T}는 다음과 같다.

AAT=[r1r2⋮rn][r1Tr2T⋯rnT]=[r1⋅r1r1⋅r2⋯r1⋅rnr2⋅r1r2⋅r2⋯r2⋅rn⋮⋮⋱⋮rn⋅r1rn⋅r2⋯rn⋅rn] AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1}^{T} & \mathbf{r}_{2}^{T} & \cdots & \mathbf{r}_{n}^{T} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    AA가 직교행렬이라고 가정하자. 그러면 AAT=IAA^{T}=I이므로 다음의 식을 얻는다.

    ri⋅rj={1,i=j0,i≠j \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

    따라서 AA의 행벡터들의 집합 {ri}\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}는 정규직교집합이다.

  • (a) ⟸\Longleftarrow (b)

    {ri}\left\{ \mathbf{r}_{i} \right\}가 정규직교집합이라고 하자. 그러면

    ri⋅rj={1,i=j0,i≠j \mathbf{r}_{i} \cdot \mathbf{r}_{j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}

    이므로

    AAT=[r1⋅r1r1⋅r2⋯r1⋅rnr2⋅r1r2⋅r2⋯r2⋅rn⋮⋮⋱⋮rn⋅r1rn⋅r2⋯rn⋅rn]=[10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1]=I AA^{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{r}_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{1} & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{n} \cdot \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} =I

■

(a)   ⟺  \iff (d)   ⟺  \iff (e)

  • (a)   ⟹  \implies (d)

    AA가 직교행렬이고 x\mathbf{x}, y∈Rn\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}이라고 하자. 그러면 전치행렬의 성질과 가정에 의해 다음의 식이 성립한다.

    (Ax)⋅(Ay)=(Ax)T(Ay)=xTATAy=xTy=x⋅y \begin{align*} \left( A \mathbf{x} \right) \cdot \left( A \mathbf{y} \right) &= \left( A \mathbf{x} \right)^{T} \left( A \mathbf{y} \right) \\ &= \mathbf{x}^{T} A^{T} A \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x}^{T} \mathbf{y} \\ &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \end{align*}

  • (d)   ⟹  \implies (e)

    AA가 내적을 보존한다고 가정하자. 그러면 가정에 의해 다음의 식이 성립한다.

    ∥Ax∥=(Ax)⋅(Ax)=x⋅x=∥x∥ \begin{align*} \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \sqrt{(A \mathbf{x}) \cdot (A \mathbf{x})} \\ &= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}} \\ &= \left\| \mathbf{x} \right\| \end{align*}

  • (e)   ⟹  \implies (a)

    ∥Ax∥=∥x∥\left\| A \mathbf{x} \right\| =\left\| \mathbf{x}\right\|가 성립한다고 가정하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

    ∥Ax∥=∥x∥  ⟹  ∥Ax∥2=∥x∥2  ⟹  Ax⋅Ax=x⋅x \begin{align*} && \left\| A \mathbf{x} \right\| &= \left\| \mathbf{x}\right\| \\ \implies && \left\| A \mathbf{x} \right\|^{2} &= \left\| \mathbf{x}\right\|^{2} \\ \implies && A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*}

    내적의 성질 Au⋅v=u⋅ATvA \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot A^{T} \mathbf{v}에 의해 위 식은 다음과 같다.

    Ax⋅Ax=x⋅ATAx=x⋅x A \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A^{T} A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x}

    위 식을 정리하면 다음과 같다.

    x⋅(ATAx−x)=0 \mathbf{x} \cdot \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0

    위 식은 모든 x\mathbf{x}에 대해서 성립해야 하므로 (ATAx−x)=0\left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x}\right) = 0이다. 따라서

    (ATAx−x)=0  ⟹  (ATA−I)x=0 \begin{align*} && \left( A^{T}A\mathbf{x} -\mathbf{x} \right) &= 0 \\ \implies && \left( A^{T}A -I\right) \mathbf{x} &= 0 \end{align*}

    위 식도 모든 x\mathbf{x}에 대해서 만족해야 하므로 다음의 식을 얻는다.

    ATA−I=0  ⟹  ATA=I A^{T}A-I = 0 \implies A^{T}A=I

    따라서 AA는 직교행렬이다.

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