유니터리 행렬
정의
유니터리 행렬
$A$를 정사각 복소수 행렬이라고 하자. $A$가 아래의 식을 만족하면 유니터리 행렬unitary이라 한다.
$$ A^{-1}=A^{\ast} $$
이때 $A^{-1}$는 $A$의 역행렬, $A^{\ast}$는 $A$의 켤레전치이다.
유니터리 대각화1
크기가 $n \times n$인 정사각행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $A$가 대각행렬 $D$와 유니터리 행렬 $P$에 대해서 다음의 식을 만족하면 유니터리 대각화가능unitarily diagonalizable하다고 한다.
$$ P^{\ast} A P = D $$
이러한 조건을 만족하는 $P$가 행렬 $A$를 유니터리 대각화한다unitarily diagonalize고 한다.
설명
유니터리 행렬은 간단히 말해서 직교행렬을 복소수 행렬에 대해서 확장한 것이다. 따라서 직교행렬의 성질을 그대로 가진다.
성질
다음의 성질이 성립한다.
(a) 유니터리 행렬의 켤레전치도 유니터리행렬이다.
(b) 유니터리행렬의 역행렬은 유니터리행렬이다.
(c) 두 유니터리행렬의 곱은 유니터리행렬이다.
(d) 유니터리행렬의 행렬식은 절댓값이 $1$이다.
$$ |\det(U)| = 1 \quad (\det U \in \left\{ e^{i\theta} : \theta \in \mathbb{R} \right\}) $$
(e) 유니터리 행렬의 고유값의 절댓값은 $1$이다.
증명
(e)
$U$를 유니터리 행렬이라 하자.
$$ U^{\ast}U = I $$
$\lambda$를 $U$의 고유값, $v$를 $\lambda$에 대응되는 고유벡터라 하자. 유니터리 행렬은 길이를 보존하므로 다음이 성립한다.
$$ \| Uv \| = \| v \| $$
그런데, $Uv = \lambda v$이므로,
$$ \| v \| = \| \lambda v \| = | \lambda | \| v \| $$
양변을 $\| v \|$로 나누면,
$$ | \lambda | = 1 $$
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정리2
유니터리 행렬일 동치 조건: $n \times n$ 복소수 행렬 $A$에 대해서 아래의 명제는 모두 동치이다.
$A$가 유니터리 행렬이다.
$A$의 행 벡터들의 집합은 $\mathbb{C}^n$의 정규직교집합이다.
$A$의 열 벡터들의 집합은 $\mathbb{C}^n$의 정규직교집합이다.
$A$가 내적을 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ (A \mathbf{x}) \cdot (A\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} $$
- $A$가 길이를 보존한다. 즉 모든 $\mathbf{x}\in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.
$$ \left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| $$