산술평균과 기하평균 조화평균사이의 부등식
📂보조정리 산술평균과 기하평균 조화평균사이의 부등식 정의 n n n 개의 양수 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n} x 1 , x 2 , ⋯ , x n 에 대해 산술, 기하, 조화평균은 다음과 같다.
산술평균 :
∑ k = 1 n x k n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n
\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { {x}_{k} }{ n } }=\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }
k = 1 ∑ n n x k = n x 1 + x 2 + ⋯ + x n 기하평균 :
∏ k = 1 n x k 1 n = x 1 x 2 ⋯ x n n
\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }=\sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }
k = 1 ∏ n x k n 1 = n x 1 x 2 ⋯ x n 조화평균 :
( ∑ k = 1 n 1 x k n ) − 1 = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n
\left( \frac { \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ {x}_{k} } } }{ n } \right)^{-1}=\frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } }
( n ∑ k = 1 n x k 1 ) − 1 = x 1 1 + x 2 1 + ⋯ + x n 1 n 정리 이에 대해 다음의 부등식이 성립한다.
x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n
\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+\cdots+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}\cdots{x}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {x}_{1} }+\frac { 1 }{ {x}_{2} }+\cdots+\frac { 1 }{ {x}_{n} } }
n x 1 + x 2 + ⋯ + x n ≥ n x 1 x 2 ⋯ x n ≥ x 1 1 + x 2 1 + ⋯ + x n 1 n
설명 고등학생이라면 한번쯤은 산술-기하평균 이라는 말을 듣게 되는데, 그게 어떤 명칭이라고 딱 꼬집어서 나오지는 않고, 보통은 ‘산술기하’라는 약칭으로 구전되는 게 보통이다. n = 2 n=2 n = 2 인 경우에 대해서는 증명도 간단하고 고등학교 수준의 문제풀이에도 유용하게 쓰인다. 고등학생 수준에서 일반적인 증명은 지저분한 식을 건드려야하는 수학적 귀납법 을 쓸 수밖에 없는데, 그보다는 어렵지만 세련된 증명을 소개한다.
증명 전략: 다음의 보조정리를 사용한다.
젠슨 부등식 :
f f f 가 컨벡스 함수 고 E ( X ) < ∞ E(X) < \infty E ( X ) < ∞ 일 때, 다음의 부등식이 성립한다.
E f ( X ) ≥ f E ( X )
E{f(X)}\ge f{E(X)}
E f ( X ) ≥ f E ( X )
산술-기하 f ( x ) = − ln x f(x)=-\ln x f ( x ) = − ln x 라 하면 f f f 는 구간 ( 0 , ∞ ) (0,\infty ) ( 0 , ∞ ) 에서 컨벡스 함수다. 확률 변수 X X X 가 확률질량함수
p ( X = x ) = { 1 n , x = x 1 , x 2 , ⋯ , x n 0 , 그 이외의 경우
p(X=x)=\begin{cases}{1 \over n} & , x={x}_{1},{x}_{2}, \cdots ,{x}_{n}
\\ 0 & , \text{그 이외의 경우}\end{cases}
p ( X = x ) = { n 1 0 , x = x 1 , x 2 , ⋯ , x n , 그 이외의 경우
를 갖는다고 하자. 그럼 E ( X ) E(X) E ( X ) 는
x 1 + x 2 + … + x n n < ∞
\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }<\infty
n x 1 + x 2 + … + x n < ∞
이므로 유한하다. 이로써 젠슨의 부등식에서 필요한 조건을 모두 만족시켜 다음을 얻는다.
E ( − ln X ) ≥ – ln E ( X )
E(-\ln X)\ge –\ln E(X)
E ( − ln X ) ≥ – ln E ( X )
여기서 좌변은
E ( − ln X ) = − E ( ln X ) = − 1 n ∑ k = 1 n ln x k = − 1 n ln ∏ k = 1 n x k = − ln ( ∏ k = 1 n x k ) 1 n = − ln ∏ k = 1 n x k 1 n
\begin{align*}
E(-\ln X)&=-E(\ln X)
\\ &=-\frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \ln{x}_{k} }
\\ &=-\frac { 1 }{ n }\ln \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} }
\\ &=-\ln { \left( \prod _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \right) }^{ \frac { 1 }{ n } }
\\ &=-\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }
\end{align*}
E ( − ln X ) = − E ( ln X ) = − n 1 k = 1 ∑ n ln x k = − n 1 ln k = 1 ∏ n x k = − ln ( k = 1 ∏ n x k ) n 1 = − ln k = 1 ∏ n x k n 1
우변은
− ln E ( X ) = − ln 1 n ∑ k = 1 n x k
\begin{align*}
-\ln E(X)=-\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} }
\end{align*}
− ln E ( X ) = − ln n 1 k = 1 ∑ n x k
이를 다시 정리하면
− ln ∏ k = 1 n x k 1 n ≥ − ln 1 n ∑ k = 1 n x k ⟹ ln 1 n ∑ k = 1 n x k ≥ ln ∏ k = 1 n x k 1 n ⟹ 1 n ∑ k = 1 n x k ≥ ∏ k = 1 n x k 1 n ⟹ x 1 + x 2 + … + x n n ≥ x 1 x 2 … x n n
\begin{align*}
-\ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } } \ge& -\ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} }
\\
\implies \ln\frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \ln\prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }
\\
\implies \frac { 1 }{ n }\sum _{ k=1 }^{ n }{ {x}_{k} } \ge& \prod _{ k=1 }^{ n }{ { {x}_{k} }^{ \frac { 1 }{ n } } }
\\
\implies \frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n } \ge& \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} }
\end{align*}
− ln k = 1 ∏ n x k n 1 ≥ ⟹ ln n 1 k = 1 ∑ n x k ≥ ⟹ n 1 k = 1 ∑ n x k ≥ ⟹ n x 1 + x 2 + … + x n ≥ − ln n 1 k = 1 ∑ n x k ln k = 1 ∏ n x k n 1 k = 1 ∏ n x k n 1 n x 1 x 2 … x n
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이로써 산술평균과 기하평균 사이의 부등식이 성립됨을 증명되었다. 이를 이용해서 기하평균과 조화평균 사이의 부등식이 성립함을 증명하자.
기하-조화 x 1 + x 2 + … + x n n ≥ x 1 x 2 … x n n
\frac { {x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n} }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ {x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n} }
n x 1 + x 2 + … + x n ≥ n x 1 x 2 … x n
에서 x k = 1 y k \displaystyle {x}_{k}=\frac { 1 }{ {y}_{k} } x k = y k 1 이라 두면
1 y 1 + 1 y 2 + … + 1 y n n ≥ 1 y 1 1 y 2 … 1 y n n ⟹ 1 1 y 1 1 y 2 … 1 y n n ≥ n 1 y 1 + 1 y 2 + … + 1 y n ⟹ y 1 y 2 … y n n ≥ n 1 y 1 + 1 y 2 + … + 1 y n
\begin{align*}
\frac { \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } }{ n }\ge \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } }
\\
\implies \frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }\frac { 1 }{ {y}_{2} }…\frac { 1 }{ {y}_{n} } } }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } }
\\
\implies \sqrt [ n ]{ {y}_{1}{y}_{2}…{y}_{n} }\ge \frac { n }{ \frac { 1 }{ {y}_{1} }+\frac { 1 }{ {y}_{2} }+…+\frac { 1 }{ {y}_{n} } }
\end{align*}
n y 1 1 + y 2 1 + … + y n 1 ≥ n y 1 1 y 2 1 … y n 1 ⟹ n y 1 1 y 2 1 … y n 1 1 ≥ y 1 1 + y 2 1 + … + y n 1 n ⟹ n y 1 y 2 … y n ≥ y 1 1 + y 2 1 + … + y n 1 n
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