무한 퍼텐셜 우물에서 파동함수고유함수 에너지고유값 구하기
정리
퍼텐셜이 무한한 사각형 형태와 같을 때 파동함수의 에너지(고유값)는
$$ E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \quad (n = 0, 1, 2, \dots) $$
와 같고, 각 에너지에 대응되는 파동함수(고유 상태)는 다음과 같다.
$$ \psi_{n}{(x)} = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x $$
설명
위와 같은 꼴의 퍼텐셜을 무한 퍼텐셜 우물infinite potential well이라 한다. 상자 속 입자 모델particle in a box model이라고도 한다. 입자가 특정한 구간을 절대 벗어날 수 없는 상황을 묘사하는 모델이다. 아주 단순한 모델이지만 고전역학에서의 결과와 크게 다른 모습을 보여준다. 고전역학에서는 입자가 발견된 위치가 구간 내에서 모두 동일하지만, 양자역학에서는 위치에 따라 입자가 발견될 확률에 차이가 난다.
증명
퍼텐셜 $U$가 다음과 같이 주어진 상황을 가정하자.
$$ -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2} \psi{(x)}}{dx^{2}}+U\psi{(x)}=E\psi{(x)},\ \ U=\begin{cases} \infty, & -\infty < x <0 \\ 0, & 0<x<a \\ \infty, & a<x<\infty \end{cases} $$
$E \lt 0$
퍼텐셜이 항상 $0$보다 크거나 같으므로 에너지가 음일 때는 파동함수가 존재하지 않는다.
$E \gt 0$
$0 \lt x \lt a$
구간 $[0, a]$에서 퍼텐셜은 $U = 0$이고, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi=0 $$
$E$가 양수이므로 $\dfrac{2m}{\hbar^{2}}E$도 양수이고, 따라서 이를 $k^{2}$이라고 하자. 그러면 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
$$ \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0 $$
이 미분방정식의 해는 다음과 같다.
$$ \psi = A\sin kx + B\cos kx $$
이 때 경계조건$( \mathrm{boundary \ condition})$을 적용하면$\psi{(0)}=\psi{(a)}=0 $$ \sin$함수는 경계조건을 만족하지만 $\cos$함수는 경계조건을 만족하지 못한다,따라서 $\psi{(x)}=A \sin kx$경계조건으로 $k$를 구해보자.$\psi (a)=A \sin ka =0$이고 $\pi$의 정수배에서 사인함수가 $0$이 되므로$\displaystyle ka=n\pi \implies k=\frac{n\pi}{a} $$ \psi{(x)}=A \sin \frac{n\pi}{a}x$마지막으로 규격화를 통해서 $A$를 구해보자.$\displaystyle \int_{0}^a \psi ^{\ast} \psi dx=1$ (입자가 어딘가에는 존재해야 하므로 전 구간에서 확률은 $1$)$\displaystyle \begin{align*} 1 &= \int_{0}^a |A|^{2} \sin^{2} \frac{n\pi}{a}x dx \\ &= |A|^{2} \int_{0}^a \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx \\ &= |A|^{2}\frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^a \\ &= |A|^{2} \frac{a}{2} \end{align*} $$ \implies A=\sqrt{\frac{2}{a}}$따라서 무한 퍼텐셜 우물에서의 파동함수(고유함수)는$\displaystyle \psi{(x)}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$이 때 파동함수 중에서 에너지 준위($n$)가 가장 낮은 상태를 바닥상태$\mathrm{Ground\ state}$라 한다.바닥상태가 아닌 상태는 들뜬 상태$\mathrm{Excited\ state}$라 한다.즉, 무한 퍼텐셜 우물에서 바닥 상태는 $\psi_{1}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{\pi}{a}x \right)$ 이다.첫 번째 들뜬 상태는 $\psi_2(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{2\pi}{a}x \right)$,두 번째 들뜬 상태는 $\psi_{3}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{3\pi}{a}x \right)$ 이다.그리고 고유값(에너지)를 구해보자.$\displaystyle \frac{2m}{\hbar^{2}}E=k^{2},\ k=\frac{n\pi}{a}$이므로$\displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}$이다.에너지$E$가 정수 $n$에 따라서 양자화 돼있다는 것을 알 수 있다.즉, 아무 에너지나 가질 수 있는 것이 아니라 $n$에 대해서 정해진 에너지만을 가질 수 있다.또한 $n^{2}$에 비례한다는 것을 알 수 있다.아랫첨자 $n$을 써서 다음과 같이 표기한다.$\displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}$