📂통계적분석

라쏘 회귀란?

정의

$$ \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{p1} \\ 1 & x_{12} & \cdots & x_{p2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{1n} & \cdots & x_{pn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{0} \\ \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{p} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \vdots \\ \varepsilon_{n} \end{bmatrix} $$ $n$ 개의 데이터가 주어져 있고 $p < n$ 이라고 할 때 선형다중회귀모델을 계획행렬로 나타내면 위와 같고, 간단히 $Y = X \beta + \varepsilon$ 라 나타내자. 이 때 다음의 최적화 문제를 BPDN^{basis Pursuit Denoising}라 하고, BPDN을 푸는 것을 라쏘^{lASSO, Least Absolute Shrinkage and Selection Operator} 혹은 라쏘 회귀^{lASSO regression}라고 한다. $$ \argmin_{\beta} \left( {{ 1 } \over { 2 }} \left\| Y - X \beta \right\|_{2}^{2} + \lambda \left\| \beta \right\|_{1} \right) $$ 여기서 $\lambda \ge 0$ 을 튜닝 파라미터^{tuning Parameter}라 한다.

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• $\left\| \cdot \right\|_{2}$ 은 유클리드 놈이고, $\left\| \cdot \right\|_{1}$ 은 절대값의 합이다.

설명

라쏘는 그 작명 그대로 회귀문제에서 회귀계수^operator의 절대값^absolute을 수축^shrinkage시켜서 최소한^least만 선택^selection한다.

머신러닝에서는 BPDN을 일반적인 최소제곱 문제에 $\lambda \left\| \beta \right\|_{1}$ 를 추가하는 $l_{1}$ 레귤러라이제이션^{regularization}으로 볼 수도 있다.

왜 쓰는가?

스파스 회귀 문서를 먼저 읽고 보면 더 좋다:

• 통계학의 관점: 해석이 간단한 모델을 찾기 위해서다. 기본적으로 회귀계수의 크기는 데이터의 스케일에 비해 충분히 크지 않으면 통계적으로 유의하지 않은 것으로 보았다. 다시 말해, 꼭 $0$ 은 아니라도 거의 $0$ 이라면 데이터를 설명하기 위해 필요한 건 아닐 수 있다는 것이다. 이러한 해석이 라쏘 회귀에서도 정확히 같지는 않을 수 있겠지만, 결국 하고자 하는 건 ‘크기가 작은 회귀계수’들을 찾아내고 처리하는 것이다.
• 머신러닝의 관점: 오버피팅^overfitting을 막기 위해서다. 주어진 데이터를 잘 설명하기 위해 아주 복잡한 항들을 추가하든 추가 데이터를 확보하든 해서 정말 특수한 경우까지 다 커버하는 모델을 만들 수 있을지도 모르겠지만, 이렇게 꼼꼼하게 맞추다보면 트레이닝 데이터에서만 뛰어나고 실전적인 테스트에서는 형편없을 수 있다. 그렇게 수없이 많은 변수에 대해서 자잘자잘하게 회귀계수를 찾는 건 오버피팅의 위험을 증대시키므로, 데이터를 설명하는 힘을 떨어뜨리는 페널티를 짊어지고서라도 막으려는 것이다.

이는 관점의 차이일 뿐, 잘 읽어보면 같은 말이다.

튜닝 파라미터 $\lambda$

• 이 설명은 리지 회귀에 대한 것이지만, 튜닝 파라미터를 다루는 맥락에서는 라쏘 회귀에서도 똑같다.

정의에서 소개된 튜닝 파라미터 $\lambda$ 는 크면 클수록 페널티^penalty $\left\| \lambda \right\|$ 가 강해지는데, 이게 너무 작으면 그냥 회귀분석과 다를 바가 없고 너무 크면 데이터를 설명하든 못하든 그냥 $\beta = \mathbf{0}$ 가 최선의 선택이 되어버린다. 극단적이고 직관적인 예시로써, 데이터에서 나오는 값들의 스케일이 0~10 정도인데도 페널티에 너무 큰 가중치 $\lambda = 10^{6}$ 를 주면 $\left\| \beta \right\|$ 를 작게 만드는 것에 정신이 팔려서 원래 해야하는 일―데이터를 잘 설명하는 모델을 세우는 걸 전혀 못하게 된다. 요지는 적절한 $\lambda$ 를 선택해야한다는 것인데, 수식만 봤을 때 $\lambda$ 가 크고 작은 것 자체로는 딱히 좋고 나쁨이 없다.

따라서 주어진 데이터에 대한 특별한 직관이나 기준이 없다면 그냥 $\lambda$ 를 바꿔가며 목적함수가 최소가 되는 걸 선택하는 것도 한 방법이다. 위의 그림은 어떤 분석에서 $\lambda$ 를 바꿔가며 교차검증을 거친 후의 에러를 $\lambda$ 에 대한 함숫값으로 본 그래프를 그린 것이다¹. 이 그래프는 $5 \times 10^{-1}$ 부근에서 최소값을 가지는 것을 수직 점선으로 표현해두었고, 별다른 이유가 없다면 $\lambda$ 는 해당 값을 사용하는 것이 타당하다.

리지 회귀와의 차이점

역사적으로 리지^ridge는 1970년 편의-분산 트레이드 오프 관계에서 불편성을 어느정도 희생해서 약간의 편의가 생기더라도 모수의 추정에 대한 효율성을 증대하는 방법으로써 소개되었고², 라쏘^lASSO는 1986년 지구물리학^geophysics에서 처음 등장했다가 1996년 다시 소개되면서 라쏘라는 이름이 지어졌다고 한다.³

• 리지 회귀의 목적함수: $$\argmin_{\beta} \left( \left\| Y - X \beta \right\|_{2}^{2} + \lambda \left\| \beta \right\|_{2}^{2} \right)$$
• 라쏘 회귀의 목적함수: $$\argmin_{\beta} \left( \left\| Y - X \beta \right\|_{2}^{2} + \lambda \left\| \beta \right\|_{1} \right)$$

보다시피 리지 회귀와 라쏘 회귀의 목적 함수는 무척 닮아 있어서 이래저래 많이 엮이지만, 까놓고 말해서 둘이 닮은 것은 목적함수의 형식적인 모습 뿐이며 이들의 장단점을 따지고 있는 것부터가 너무 단순한 관점일 수 있다. 흔히 리지와 라쏘의 차이점은 패널티 텀이 $l_{1}$ 이냐 $l_{2}$ 냐, 미분가능해서 그 최적해가 클로즈드 폼^{closed form}으로 간단하게 나타나냐 아니냐, 실제로 계수를 $0$ 까지 줄일 수 있냐 없냐 등등으로 많이들 설명한다. 거기에 좀 더 꼼꼼하면 파이썬 예제 코드가 포함되고 경험적으로는 보통 뭐가 우수하다, 어떤 경우에선 다른 게 더 나을 수 있다는 언급이 추가되는 식이다.

… 근데 그런 설명들은 각종 책, 위키피디아, 블로그 등에 차고 넘치게 널려있다. 이렇게 잘 알려진 것들을 깔끔하게 정리해놓은 글들은 구글에 ‘Ridge vs LASSO’라고 검색하면 쉽게 찾아볼 수 있고, 이 포스트에서 우리는 그들보다 조금만, 아주 조금만 더 깊게 들어가보려 한다.

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• 이하의 내용은 라쏘 회귀의 입장에서 리지 회귀와 어떻게 다른지를 설명한다. 리지 회귀의 입장에서 라쏘 회귀를 어떻게 볼지는 해당 포스트에서 확인하자.

일반적으로 라쏘 회귀의 코스트가 리지 회귀보다 더 비싸다거나, 계산적으로 복잡하다고들 많이 설명한다. 딱히 틀린 지적은 아니지만, 애초에 패널티 $\left\| \lambda \right\|$ 까지 짊어져가면서 하고 싶은 게 스파스 회귀라면 그깟 코스트는 문제가 안 될지도 모른다.

위의 그림에서 $\hat{\beta}$ 은 원래 최소제곱문제의 최적해고 왼쪽은 라쏘 회귀($l_{1}$), 오른쪽은 리지 회귀($l_{2}$)의 해공간을 직관적으로 보여주고 있다⁴. 이렇게 기하적으로 하는 설명은 앞서 언급했듯 구글에서 ‘Ridge vs LASSO’로 이미지 검색을 하면 그 수를 셀 수가 없을 정도로 많고, 그 정도로 좋은 설명이다.

• (왼쪽) 라쏘: 회귀계수 $\beta_{1}$ 과 $\beta_{2}$ 의 절대값이 어떤 값 $r$ 과 같다는 것은 한 변의 길이가 $\sqrt{r}$ 인 정사각형 $\left| \beta_{1} \right| + \left| \beta_{2} \right| = r$ 위의 한 점이라는 것이다. BPDN에서의 최적해는 $\left\| Y - X \beta \right\|_{2}$ 가 이루는 등고선 중에서 가장 낮으면서도 저 사각형과 겹치는 점이 있어야하고, 그림에서 보는 것과 같이 정확히 축 위에 위치할 수 있다. 해가 어떤 축 위에 있다는 것은 다른 차원 중 하나 이상이 $0$ 이 되었다는 것을 의미하므로, 라쏘는 특정한 회귀계수를 정확히 $0$ 으로 만들 수 있다.
• (오른쪽) 리지: 회귀계수 $\beta_{1}$ 과 $\beta_{2}$ 의 제곱이 어떤 값 $r$ 과 같다는 것은 반지름의 길이가 $r$ 인 원 $\beta_{1}^{2} + \beta_{2} ^{2} = r$ 위의 한 점이라는 것이다. 라쏘와 마찬가지로 특정 수준의 $r$ 이라 하더라도 $\hat{\beta}$ 가 이루는 등고선과 원이 만나는 점은 거의 확실히 축 위에 놓일 수 없다.

물론 리지 회귀도 그 나름대로 좋은 의미를 많이 가지고 있기는 하겠지만, 스파스 회귀의 맥락에선 결국 특정 계수를 $0$ 으로 만들지 못하는 방법과 비교되는 것 자체가 이상하다. ⁵ 특정한 유형의 데이터에선, $\lambda$ 를 주기에 따라선, 오버피팅의 측면에선, 계산 속도와 단순함에선… 그런 모든 가정이 부질없다. 리지 회귀는 못하는 걸 라쏘 회귀는 할 수 있고, 근본적으로 이 차이를 좁힐 방법은 없다. 라쏘냐 리지냐 하는 비교는 장단점이나 사소한 차이로 따질 게 아니라는 뜻이다.

• 계산의 결과만 생각해보면 $\beta_{k} = 0$ 와 $\beta_{k} \approx 0$ 는 별로 다르지 않을 수 있겠지만, 계산의 과정까지 생각해보면 $\beta_{k} = 0$ 인 독립변수 $X_{k}$ 는 애초에 배제할 수 있다는 점이 현격하게 다르다. 만약 리지 회귀에서는 $\beta_{k} \approx 0$ 지만 라쏘 회귀에선 확실히 $\beta_{k} = 0$ 이 되는 변수가 100만개 정도 있다면, 모델로써의 퍼포먼스는 비슷하더라도 리지 회귀는 한 데이터 포인트의 피팅마다 100만 번의 곱셈이 더 필요한 것이다.

한편 라쏘는 실제로도 특정한 조건 하에서 최적해의 클로즈드 폼^{closed form}이 알려져 있으며 그 최적해에 소프트 쓰레숄딩이 사용된다. 다시 말해 수식 자체에서도 $\beta_{k}$ 를 $0$ 으로 만드는 부분이 있다는 것이고 라쏘 회귀를 시각, 직관에 기대지 않고 감을 잡으려면 다음과 같은 수식적인 논의를 이해해야 한다.

공식

최적해 ⁶

$$ L \left( \beta \right) = {{ 1 } \over { 2 }} \left\| Y - X \beta \right\|_{2}^{2} + \lambda \left\| \beta \right\|_{1} $$ $\lambda$ 가 상수로 주어져 있을 때, 라쏘 회귀의 목적 함수 $L$ 을 위와 같이 나타내자. 일반적으로 라쏘 회귀의 최적해는 클로즈드 폼^{closed form}이 없지만, $X$ 의 모든 칼럼이 서로 직교한다고 가정하면 $\hat{\beta} = \argmin_{\beta} L \left( \beta \right)$ 의 $k$ 번째 성분 $\left( \hat{\beta} \right)_{k}$ 는 다음과 같다. $$ \begin{align*} \left( \hat{\beta} \right)_{k} =& {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \eta_{\lambda} \left( X^{T} Y \right)_{k} \\ = & {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \begin{cases} \left( X^{T} Y \right)_{k} + \lambda & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} < - \lambda \\ 0 & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} \in [-\lambda, \lambda] \\ \left( X^{T} Y \right)_{k} - \lambda & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} > \lambda \end{cases} \end{align*} $$ 여기서 $A^{T}$ 는 $A$ 의 전치행렬, $A^{-1}$ 는 $A$ 의 역행렬이고 $\eta_{\lambda}$ 는 소프트 쓰레숄딩이다.

유도 ⁷

벡터와 행렬의 그래디언트: $$ \frac{ \partial }{ \partial \mathbf{w} }\left( \mathbf{w}^{T}\mathbf{R}\mathbf{w} \right)= \left( \mathbf{R} + \mathbf{R}^{T} \right) \mathbf{w} $$

잔차제곱합의 그래디언트: $$ f \left( \mathbf{s} \right) := \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right)^{T} R \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) $$ $\mathbf{s}$ 에 종속되지 않은 벡터 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ 과 행렬 $X \in \mathbb{R}^{n \times p}$, $R \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ {{ \partial f \left( \mathbf{s} \right) } \over { \partial \mathbf{s} }} = - X^{T} \left( R + R^{T} \right) \left( \mathbf{y} - X \mathbf{s} \right) $$

$R = I$ 인 경우에 대해 위 공식들을 적용하면 $$ \begin{align*} {{ \partial } \over { \partial \beta }} L \left( \beta \right) =& {{ \partial } \over { \partial \beta }} {{ 1 } \over { 2 }} \left\| Y - X \beta \right\|_{2}^{2} + {{ \partial } \over { \partial \beta }} \lambda \left\| \beta \right\| \\ =& {{ \partial } \over { \partial \beta }} {{ 1 } \over { 2 }} \left( Y - X \beta \right)^{T} \left( Y - X \beta \right) + \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| \\ =& - {{ 1 } \over { 2 }} X^{T} \left( I + I^{T} \right) \left( Y - X \beta \right) + \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| \\ =& - X^{T} \left( Y - X \beta \right) + \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| \\ =& - X^{T} Y + X^{T} X \beta + \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| \end{align*} $$ 이고, $\beta = \hat{\beta}$ 는 ${{ \partial } \over { \partial \beta }} L = 0$ 을 만족시켜야 하므로, 정리하면 다음을 얻는다. $$ X^{T} X \hat{\beta} = X^{T} Y - \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| $$ 이제 $k = 0, 1, \cdots, p$ 에 대해 $\hat{\beta}_{k} := \left( \beta \right)_{k}$ 를 생각해보자. 행렬 $A$ 의 $i$ 번째 행을 $\left( A \right)_{i \cdot}$ 와 같이 나타내보면, $$ \begin{align*} & X^{T} X \hat{\beta} = X^{T} Y - \lambda {{ \partial } \over { \partial \beta }} \left\| \beta \right\| \\ \implies & \left( X^{T} X \right)_{i \cdot} \hat{\beta} = \left( X^{T} Y \right)_{i} - \lambda {{ \partial } \over { \partial \hat{\beta}_{i} }} \sum_{j=0}^{p} \left| \beta_{j} \right| \\ \implies & \sum_{j=0}^{p} \left( X^{T} X \right)_{i j} \hat{\beta}_{j} = \left( X^{T} Y \right)_{i} - \lambda {{ \partial } \over { \partial \hat{\beta}_{i} }} \left| \hat{\beta}_{i} \right| \\ \implies & \hat{\beta}_{i} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{ii} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{i} - \lambda {{ \partial } \over { \partial \hat{\beta}_{i} }} \left| \hat{\beta}_{i} \right| - \sum_{j \ne i} \left( X^{T} X \right)_{i j} \hat{\beta}_{j} \right] \end{align*} $$ 과 같은 방정식을 얻게 된다. $\hat{\beta}_{i}$ 가 다른 $\hat{\beta}_{j}$ 들에게 종속되어 있어서 이 해를 클로즈드 폼이라 할 수는 없고, $\left( X^{T} X \right)_{i j} = 0$ 일 때는 $\hat{\beta}_{j}$ 를 신경쓰지 않아도 되는 것을 확인할 수 있다. 이에 따라 $X$ 의 칼럼들이 직교한다는 가정을 추가해보면, $X$ 의 칼럼들이 직교한다는 것은 $X^{T} X$ 가 대각행렬이라는 의미가 된다.

$\hat{\beta}_{k}$ 는 $0$ 보다 크거나, 작거나, $0$ 이거나 셋 중 하나다. 만약 $\hat{\beta}_{k} > 0$ 이라면, $$ \begin{align*} & \hat{\beta}_{k} > 0 \\ \implies & \hat{\beta}_{k} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{k} - \lambda {{ \partial } \over { \partial \hat{\beta}_{k} }} \left| \hat{\beta}_{k} \right| \right] > 0 \\ \implies & \hat{\beta}_{k} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{k} - \lambda \right] > 0 \end{align*} $$ 이므로 $\hat{\beta}_{k} > 0$ 일 뿐만 아니라 $\left( X^{T} Y \right)_{k} > \lambda$ 이기도 해야한다. 마찬가지의 이유로 $\hat{\beta}_{k} < 0$ 이라면, $$ \begin{align*} & \hat{\beta}_{k} < 0 \\ \implies & \hat{\beta}_{k} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{k} - \lambda (-1) \right] > 0 \\ \implies & \hat{\beta}_{k} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{k} + \lambda \right] < 0 \end{align*} $$ 이므로 $\left( X^{T} Y \right)_{k} < - \lambda$ 이기도 해야한다. 그 외에는 $\hat{\beta}_{k} = 0$ 이고, 다음과 같이 소프트 쓰레숄딩을 통해 요약할 수 있다. $$ \begin{align*} \hat{\beta}_{k} =& {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \begin{cases} \left( X^{T} Y \right)_{k} + \lambda & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} < - \lambda \\ 0 & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} \in [-\lambda, \lambda] \\ \left( X^{T} Y \right)_{k} - \lambda & , \text{if } \left( X^{T} Y \right)_{k} > \lambda \end{cases} \\ = & {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{kk} }} \eta_{\lambda} \left( X^{T} Y \right)_{k} \end{align*} $$

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알고리즘

$$ \hat{\beta}_{i} = {{ 1 } \over { \left( X^{T} X \right)_{ii} }} \left[ \left( X^{T} Y \right)_{i} - \lambda {{ \partial } \over { \partial \hat{\beta}_{i} }} \left| \hat{\beta}_{i} \right| - \sum_{j \ne i} \left( X^{T} X \right)_{i j} \hat{\beta}_{j} \right] $$ 유도과정에서 이미 확인한 것처럼 임플리싯^implicit한 방정식만 있다는 게 꼭 $\hat{\beta}_{j}$ 을 구할 수 없다는 의미는 아니고, 경사하강법과 같이 반복적^iterative인 알고리즘으로 근사해를 구한다고 한다. ⁸ BPDN만 봤을 땐, 일반적인 최적화 문제와 달리 우리가 구한 해를 검증할 방정식이라도 있으니 사정이 그럭저럭 괜찮은 편인 것이다. 한편으로는 결국 경사하강법을 쓸 땐 쓰더라도, $X$ 의 칼럼들이 준수하게 직교한다면 위의 공식으로 얻는 최적해를 초기점으로 쓸만도 하다. 어차피 변수들끼리의 독립성에 문제가 있었다면 그걸 라쏘의 결점이라고 지적하기는 곤란하다.

같이보기

• 스파스 회귀
  • 리지 회귀
  • 라쏘 회귀