다변량정규분포에서 독립과 제로 상관관계는 동치다
📂확률분포론다변량정규분포에서 독립과 제로 상관관계는 동치다
정리
X=μ=Σ=[X1X2][μ1μ2][Σ11Σ21Σ12Σ22]:Ω→Rn∈Rn∈Rn×n
위와 같이 조던블럭폼으로 나타낸 X, μ, Σ 에 대해 다변량정규분포를 따르는 랜덤벡터 X∼Nn(μ,Σ) 가 주어져 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
X1⊥X2⟺Σ12=Σ21=O
설명
Σ12=Σ21=O 는 두 랜덤벡터 X1 와 X2 의 공분산이 0 임을 의미한다.
일반적으로 상관관계가 없다고 독립인 것은 아닌데, 이들이 동치가 되는 조건은 각자가 정규분포를 따르는 것이다. 팩트로는 누구나 다 아는 사실이지만 의외로 직접 증명을 해본 사람은 많지 않다.
증명
(⟹)
X1 에 속하는 인덱스 i 와 X2 속하는 인덱스 j 가 모든 i=j 에 대해 Xi⊥Xj 라 하자.
===Cov(Xi,Xj)E(Xi−μi)(Xj−μj)E(Xi−μi)E(Xj−μj)0⋅0
(⟸)
Σ12=Σ12T=Σ21=O 이라고 하자.
다변량정규분포의 마지널 랜덤벡터: 만약 X∼Nn(μ,Σ) 이라면, 그 마지널 랜덤벡터 중 하나인 X1 는 다변량정규분포 Nm(μ1,Σ11) 를 따른다.
X1 와 X2 는 X 의 마지널 랜덤벡터로써, 각자 다변량정규분포 Nm(μ1,Σ11) 와 Nn−m(μ2,Σ22) 를 따르므로 각각의 적률생성함수 MX1, MX2 는 t1∈Rm 과 t2∈Rn−m 에 대해 다음과 같다.
MX1(t1)=MX2(t2)=exp[t1Tμ+21t1TΣt1]exp[t2Tμ+21t2TΣt2]
다변량정규분포의 적률생성함수: X∼Np(μ,Σ) 의 적률생성함수는 다음과 같다.
MX(t)=exp(tTμ+21tTΣt),t∈Rp
X 의 적률생성함수 MX:Rn→R 는 다음과 같이 X1, X2 각각의 적률생성함수 MX1, MX2 의 곱으로 나타난다. 여기서 t∈Rn 은 t=[t1t2] 다.
=====MX(t)exp[tTμ+21tTΣt]exp[t1Tμ1+t2Tμ2+21(t1TΣ11t1+t1TΣ12t2+t2TΣ21t1+t2TΣ22t2)]exp[t1Tμ1+t2Tμ2+21(t1TΣ11t1+0+0+t2TΣ22t2)]exp[t1Tμ+21t1TΣt1]exp[t2Tμ+21t2TΣt2]MX1(t1)MX2(t2)
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