비중심 F-분포
📂확률분포론비중심 F-분포
정의
단일 비중심 F-분포
자유도 r1,r2>0 와 비중심성non-centrality λ1≥0 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 F(r1,r2,λ1) 를 단일 비중심 F-분포singly Non-central F-distribution라 한다.
f(x)=k=0∑∞B(2r2,2r1+k)k!e−λ/2(λ/2)k(r2r1)2r1+k(r1x+r2r2)2r1+r2+kx2r1−1+k,x≥0
이중 비중심 F-분포
자유도 r1,r2>0 와 비중심성non-centrality λ1,λ2≥0 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 F(r1,r2,λ1,λ2) 를 이중 비중심 F-분포doubly Non-central F-distribution라 한다.
f(x)=k=0∑∞l=0∑∞2k+lk!!e2λ1+λ2B(k+21r1,l+21r2)n1k+2r1n2l+2r2xk+2n1−1λ1kλ2l,x≥0
설명
비중심 F-분포는 F-분포의 일반화로써, 유도과정에서 단일형은 분자만, 이중형은 분자와 분모 모두가 비중심 카이제곱분포를 따른다. 비중심성non-centrality이라는 표현은 비중심 카이제곱분포의 직관적인 유도에서 확률변수들이 따르는 정규분포의 모평균이 0 이 아닌 것에서 유래했다.
비중심 카이제곱분포에서의 유도
X 가 비중심 카이제곱분포 χ2(r1,λ1) 를 따르고 Y 가 카이제곱분포 χ2(r2)를 따른다고 하자. 그러면
Y/r2X/r1
는 단일 비중심 F-분포를 따른다. 여기서 Y∼χ2(r2,λ2) 면 위의 확률변수는 이중 비중심 F-분포를 따른다. 다시 말해 원래의 F-분포에서 분자만 비중심 카이제곱분포면 단일, 분자 분모 모두 비중심 카이제곱분포면 이중이다.
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