📂확률분포론

비중심 F-분포

정의

단일 비중심 F-분포 ¹

자유도 $r_{1} , r_{2} > 0$ 와 비중심성^{non-centrality} $\lambda_{1} \ge 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 $F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1} \right)$ 를 단일 비중심 F-분포^{singly Non-central F-distribution}라 한다.

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} {{ e^{ - \lambda / 2 } \left( \lambda / 2 \right)^{k} } \over { B \left( {{ r_{2} } \over { 2 }} , {{ r_{1} } \over { 2 }} + k \right) k ! }} \left( {{ r_{1} } \over { r_{2} }} \right)^{{{ r_{1} } \over { 2 }} + k} \left( {{ r_{2} } \over { r_{1} x + r_{2} }} \right) ^{{{ r_{1} + r_{2} } \over { 2 }} + k} x^{{{ r_{1} } \over { 2 }} - 1 + k} \qquad , x \ge 0 $$

이중 비중심 F-분포 ²

자유도 $r_{1} , r_{2} > 0$ 와 비중심성^{non-centrality} $\lambda_{1}, \lambda_{2} \ge 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 연속확률분포 $F \left( r_{1} , r_{2} , \lambda_{1}, \lambda_{2} \right)$ 를 이중 비중심 F-분포^{doubly Non-central F-distribution}라 한다.

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{\infty} {{ n_{1}^{k + {{ r_{1} } \over { 2 }}} n_{2}^{l + {{ r_{2} } \over { 2 }}} x^{k + {{ n_{1} } \over { 2 }} - 1 } \lambda_{1}^{k} \lambda_{2}^{l} } \over { 2^{k+l} k!! e^{{{ \lambda_{1} + \lambda_{2} } \over { 2 }}} B \left( k + {{ 1 } \over { 2 }} r_{1} , l + {{ 1 } \over { 2 }} r_{2} \right) }} \qquad , x \ge 0 $$

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• $B$ 는 베타함수다.
• $k!!$ 는 $k$ 의 더블 팩토리얼이다.

설명

비중심 F-분포는 F-분포의 일반화로써, 유도과정에서 단일형은 분자만, 이중형은 분자와 분모 모두가 비중심 카이제곱분포를 따른다. 비중심성^{non-centrality}이라는 표현은 비중심 카이제곱분포의 직관적인 유도에서 확률변수들이 따르는 정규분포의 모평균이 $0$ 이 아닌 것에서 유래했다.

비중심 카이제곱분포에서의 유도

$X$ 가 비중심 카이제곱분포 $\chi^{2} \left( r_{1} , \lambda_{1} \right)$ 를 따르고 $Y$ 가 카이제곱분포 $\chi^{2} \left( r_{2} \right)$를 따른다고 하자. 그러면 $$ {{ X / r_{1} } \over { Y / r_{2} }} $$ 는 단일 비중심 F-분포를 따른다. 여기서 $Y \sim \chi^{2} \left( r_{2} , \lambda_{2} \right)$ 면 위의 확률변수는 이중 비중심 F-분포를 따른다. 다시 말해 원래의 F-분포에서 분자만 비중심 카이제곱분포면 단일, 분자 분모 모두 비중심 카이제곱분포면 이중이다.

같이보기

F-분포

비중심 카이제곱분포