켄트 분포
📂확률분포론켄트 분포
정의
집중concentration κ>0 과 β∈R, 평균mean γ1∈Sp−1, 장축major Axis γ2∈Sp−1, 단축minor Axis γ3∈Sp−1 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 다변량분포 FB5((γ1,γ2,γ3),κ,β) 를 켄트 분포kent distribution라 한다.
f(x)=c(κ,ν)1exp(κγTx+β[(γ2Tx)2−(γ3Tx)2]),x∈Sp−1
특히 0≤β<κ/2 일 때 이 분포는 구면에서 계란형ovalness이고, c(κ,ν)>0 는 다음과 같이 ∫Sp−1f(x)dx=1 이 되게끔 하는 노멀라이징 컨스턴트normalizing constant다.
c(κ,β)=2πj=0∑∞Γ(j+1)Γ(j+21)β2j(κ2)2j+21I2j+21(κ)
설명

켄트 분포는 구면에서 타원형의 등고선contour를 그리는 다변량정규분포, 즉 자명하지 않은 공분산행렬이 주어진 것 같은 기하적 의미를 가진다. 언뜻 생각하기엔 그냥 평면에서 타원을 그려놓고 원으로 옮기면 그만일 것 같지만, 정의에서 소개된 것처럼 복잡한 수식으로 모델링하지 않으면 구면 위에서는 왜곡이 일어난다.

분포의 모수에서 정의되는 이심률eccentricity 2β/κ 은 등고선이 얼마나 원과 다른지를 나타낸다.