📂확률분포론

빙햄-마르디아 분포

정의 ¹

유니크 모드^{unique mode} $\mu \in S^{p-1}$ 과 집중^{concentration} $\kappa > 0$ 과 반지름 $\nu > 0$ 에 대해 다음과 같은 확률 밀도 함수를 가지는 다변량분포 $\text{BM}_{p} \left( \mu , \kappa, \nu \right)$ 를 빙햄-마르디아 분포^{bingham-Mardia distribution}라 한다. $$f \left( \mathbf{x} \right) = {{ 1 } \over { \alpha \left( \kappa , \nu \right) }} \exp \left( - \kappa \left( \mu^{T} \mathbf{x} - \nu \right)^{2} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$ 여기서 $\alpha \left( \kappa , \nu \right) > 0$ 는 $\int_{S^{p-1}} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} = 1$ 이 되게끔 하는 노멀라이징 컨스턴트^{normalizing constant}다.

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• $S^{p-1} \subset \mathbb{R}^{p}$ 는 유닛 스피어다.
• $\mu ^{T}$ 는 벡터 $\mu$ 에 트랜스포즈를 취한 것이다.

설명

빙햄-마르디아 분포는 구면 위에서 작은 원^{small Circle} 형태의 클러스터를 이루게 되는 확률 분포다.

폰 미제스-피셔 분포의 확률밀도함수: $$f \left( \mathbf{x} \right) = \left( {{ \kappa } \over { 2 }} \right)^{p/2-1} {{ 1 } \over { \gamma \left( p/2 \right) I_{p/2-1} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \mu^{T} \mathbf{x} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$

폰 미제스-피셔 분포가 구면 위의 정규분포 같은 느낌이었던것과 비교해보면 빙햄-마르디아 분포의 확률밀도함수에서 에서 $\kappa \left( \mu^{T} \mathbf{x} - \nu \right)^{2}$ 가 원 모양을 이루는 역할을 한다는 점이 쉽게 이해가 될 것이다.