배리오그램의 등방성
정의 1
공간과정의 세미배리오그램 $\gamma \left( \mathbf{h} \right)$ 가 방향벡터 $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{r}$ 에 의존할 뿐만 아니라, 사실 방향과 관계 없이 그 크기 $d := \left\| \mathbf{h} \right\|$ 에만 의존해서 다음과 같이 나타낼 수 있을 때 배리오그램 $2 \gamma$ 를 아이소트로픽isotropic하다고 말하고 아이스토픽하지 않으면 안아이소트로픽anisotropic하다고 말한다. $$ \gamma \left( \left\| \mathbf{h} \right\| \right) = \gamma (d) $$ 특히 아이소트로픽할 뿐만 아니라 내재적 정상적이면 동질적homogeneous이라고도 한다.
설명
포인트 참조 데이터가 등방성isotropy을 가진다는 것은 것은 이를테면 주어진 두 점의 관계가 동쪽인지 서쪽인지와 같이 방향에 관계 없이 오로지 그 거리로만 설명된다는 것을 의미한다.
당연하지만 등방성을 가진 데이터가 훨씬 분석하기 쉽고, 공간통계분석 자체가 통계학에서도 쉽지 않다는 점에서 비등방성 데이터를 다루는 것은 전공자… 그러니까 '통계학 전공자 중에서도 공간통계를 전공한 수준'에서나 다루게 되는 것이 사실이다. 실제로 다른 분야와 비교해보면 언어를 불문하고 (심지어 R을 포함해서) 아직 라이브러리의 생태계가 성숙하지 못한 편이며, 아직 개개인이 코딩 역량에 많이 의존적인 것이 사실이다.
비등방성 데이터
등방성이 결여된 데이터의 예로써 쉽게 떠올릴 수 있는 것은 강이나 산맥과 같은 지형을 끼고 있는 환경관측자료 등이 있다.
- 화학 공장 주변의 공해: 어떤 공장에서 폐기물을 인근의 강으로 방류한다고 한다면, 우리가 관심있는 어떤 물질의 양은 상류에서 하류로 흘러 어떤 방향성을 띄게 된다. 강의 폭이 그렇게 넓지 않다면 상식적으로 하류에서 어떤 지점과 강 건너와의 데이터는 매우 유사해야하나, 강의 흐름을 따르는 방향성은 어느 지점이나 같다고 가정하기 어려워진다.
- 기상 관측: 기본적으로 공기 중의 모든 것은 브라운 모션을 그리며 확산되겠지만, 지형에 따라 바람이 불게 되면 이들은 상관관계보다도 강한 인과관계를 가지며 흐름을 만들게 된다. 이들이 국지적인 스케일에서 우연보다 더 확실한 통계적 유의성을 가진다면, 이들에 대한 별도의 핸들링이 필요하게 된다.
등방성 체크
등방성을 체크한다는 말이나 비등방성을 탐지한다는 말이나 그게 그건데, 시각적으로 이를 체크하는 두가지 방법은 방향 세미배리오그램(왼쪽, A) 과 로즈 다이어그램(오른쪽, B) 이 알려져있다2. 두 그림 모두 데이터의 세미배리오그램을 구하되 45º씩 나누어 따로 계산한 결과를 나타내고 있는데, 한 눈에 보아도 135º 방향에서 $\gamma \left( \mathbf{h} \right)$ 의 이변을 발견할 수 있다.
혹은 경험적 세미배리오그램 등고선(ESC) 그림을 참고할 수도 있다.
세미배리오그램의 모형
$\gamma \left( \left\| \mathbf{h} \right\| \right) = \gamma (d)$ 인 경우 $\gamma$ 는 복잡한 행렬 꼴이 아닌 1차원 스칼라함수, 즉 $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 으로써 표현될 수 있다.
이 내용에 대해서는 세미배리오그램의 모형 포스트에서 이어진다.
레이디얼 함수
아이소트로픽한 배리오그램은 레이디얼 함수의 일종이다.