📂통계적분석

공간 과정

정의 ¹

특히 $r > 1$ 일 때, 유클리드 공간의 픽스된 부분집합 $D \in \mathbb{R}^{r}$ 에 대해서 다음과 같이 $p$-변량 랜덤벡터 $Y(s) : \Omega \to \mathbb{R}^{p}$ 의 집합인 확률과정을 공간 과정^{spatial process}라 부르기도 한다. $$ \left\{ Y(s) : s \in D \right\} $$ 특히 공간과정이 유한집합이어서 다음과 같이 벡터로 표현될 땐 랜덤 필드^{random field}라고도 부른다. $$ \left( Y \left( s_{1} \right) , \cdots , Y \left( s_{n} \right) \right) $$

설명

특히 공간데이터 중 포인트 참조 데이터를 다룰 때, $Y(s)$ 는 $s$ 에 대해 연속적으로 샘플링 할 수 있다고 가정하지만 실질적으로 얻어지는 실현의 $D = \left\{ s_{1} , \cdots , s_{n} \right\}$ 는 유한집합일 것이다.

학부 확률과정론에서는 흔히 $r = p = 1$ 과 $[ 0 , \infty ) \subset \mathbb{R}$ 에 대해 다음과 같은 확률과정만 공부하긴 한다. $$ \left\{ Y_{t} : t \in [ 0 , \infty ) \right\} $$ 이렇게 시계열 데이터에 대한 배경같은 느낌으로만 확률과정을 접했다면 공간 과정의 정의는 다소 당황스러울 수 있는데, 사실 일반적인 확률과정^{stochastic process}의 정의는 단지 '랜덤 엘러먼트의 집합'으로 충분하기 때문에 $\left\{ Y(s) \right\} _{s \in D}$ 를 확률과정이라 부르지 않을 이유가 없다.

공간 과정을 굳이 시간 과정의 일반화라고 부를 수 있다기보단, 애초에 그들은 구분된 적이 없었다. 영 이해하기 어렵다면 그냥 시계열을 다룰 때 시간만의 1차원 축 $\mathbb{R}^{1}$ 역시 엄연한 유클리드 공간임을 떠올려보면 좋을 것이다. 잘 생각해보면 시간 $t \in \mathbb{R}$ 의 흐름을 따르는 확률'과정' 자체도 일상적인 용어와 별로 통하지 않았으니, 공간'과정'이라는 표현에 너무 불편해하지 말자.