📂위상데이터분석

위상수학에서의 리트랙트

정의 ^{1 2}

위상공간 $X$ 의 부분공간 $A \subset X$ 가 주어졌고, 항등함수를 $\text{id}$ 라 나타내자.

1. 인클루젼 $i : A \to X$ 에 대해 $$r \circ i = \text{id}_{A} : A \to A$$ 를 만족하는 연속 전사 함수 $r : X \to A$ 가 존재하면 $r$ 을 리트랙션^retraction, $A$ 를 $X$ 의 리트랙트^retract라 한다. 다시 말해, $r$ 은 다음을 만족하는 연속 전사 함수다. $$r(a) = a \qquad , \forall a \in A$$
2. 다음을 만족하는 리트랙션 $r : X \to A$ 가 존재하면 $A$ 를 $X$ 의 데포메이션 리트랙트^{deformation Retract}라 한다. $$i \circ r \simeq \text{id}_{X} : X \to X$$ 다시 말해, $A$ 가 $X$ 의 데포메이션 리트랙트라는 것은 다음과 같은 호모토피 $F : X \times I \to X$ 가 존재한다는 것이다. $$\begin{align*} F(x,0) =& x & , x \in X \\ F(x,1) \in & A & , x \in X \\ F(a,t) =& a & , a \in A \end{align*}$$

설명

리트랙트^{움츠리다, 들어가다}는 그 의미 그대로 전체공간 $X$ 를 그보다 작은 공간 $A$ 로 어떻게든 구겨넣되 원래의 점들 $a \in A$ 는 그대로 유지되는 사상이다. 데포메이션 리트랙트의 정의에서 주의해야할 점은 $i \circ r = \text{id}_{X}$ 가 아닌 $i \circ r \simeq \text{id}_{X}$ 라는 것, 즉 호모토피 센스에서 같다는 것이다.

이러한 리트랙트를 생각함으로써 이제 우리는 수 없이 복잡하고 다양한 공간들을 아주 단순하게 바라볼 수 있게 된다. 가령 위와 같이 두께가 있는 원 $X$ 이든 두께가 없는 원 $A$ 든 공간 자체의 성질을 연구함에 있어서 차이가 없다면 두께가 없는 편이 훨씬 다루기 쉬울 것이다.

강한 데포메이션 리트랙트

데포메이션 리트랙트는 $A$ 에 관계없이 $i \circ r \simeq \text{id}_{X}$ 를 만족하는 $r$ 이 존재함으로써 고려되지만, 거기서 상대적 호모토피까지 고려해서 $$i \circ r \simeq_{\text{rel} A} \text{id}_{X}$$ 를 만족하는 리트랙트 $r$ 이 존재할 때 $A \subset X$ 가 강한 데포메이션 리트랙트^{strong Deformation Retract}라 부른다. 이는 그냥 데포메이션 리트랙트가 아니라 $A$ 에서 점들이 고정되는 것까지 요구하고 있기에 너무 강한 조건으로 보일 수 있고, 실제로도 데포메이션 리트랙트에 비해서는 별로 중요하지 않게 다뤄진다.