대수위상에서의 리프팅 정리 증명
정리 1 2
커버링과 리프트의 정의: 단위구간을 $I = [0,1]$ 과 같이 나타내자.
- $X$ 의 오픈셋 $U \subset X$ 가 $p$ 에 의해 이븐하게 커버된다evenly Covered by $p$는 것은, 모든 $\alpha \in \forall$ 에 대응되는 모든 제한함수 $p |_{\widetilde{U}_{\alpha}}$ 들이 호메오멀피즘이며 $$ \alpha_{1} \ne \alpha_{2} \implies \widetilde{U}_{\alpha_{1}} \cap \widetilde{U}_{\alpha_{2}} = \emptyset $$ 을 만족하는, 즉 서로소인 $\widetilde{X}$ 의 오픈셋 $\widetilde{U}_{\alpha} \subset \widetilde{X}$ 들에 대해 $$ p^{-1} \left( U \right) = \bigsqcup_{\alpha \in \forall} \widetilde{U}_{\alpha} $$ 이 성립한다는 것이다.
- $p : \widetilde{X} \to X$ 가 전사 함수이면서, 모든 $x \in X$ 에 대해서 $p$ 에 의해 이븐하게 커버되는 $x$ 의 오픈 네이버후드 $U_{x} \subset X$ 가 존재하면 $p : \widetilde{X} \to X$ 를 커버링covering이라 한다.
- 커버링 $p$ 의 정의역 $\widetilde{X}$ 를 커버링 스페이스convering space, 공역 $X$ 를 베이스 스페이스base space라 한다.
- $n \in \mathbb{N}$ 이라고 하자. $f : I^{n} \to X$ 와 $\widetilde{f} : I^{n} \to \widetilde{X}$ 가 다음을 만족하면 $\widetilde{f}$ 를 $f$ 의 리프트lift라 한다. $$ f = p \circ \widetilde{f} $$
$1$-스피어 $S^{1}$ 을 공역으로 가지는 커버링을 $p : \mathbb{R} \to S^{1}$ 이라고 하자.
패스 리프팅 정리
연속함수 $f : I \to S^{1}$ 은 리프트 $\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}$ 을 가진다. 특히 주어진 $x_{0} \in S^{1}$ 와 $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$ 에 대해, $\widetilde{f} \left( 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$ 인 $\widetilde{f}$ 는 유일하게 존재한다.
호모토피 리프팅 정리
연속함수 $F : I^{2} \to S^{1}$ 은 리프트 $\widetilde{F} : I^{2} \to \mathbb{R}$ 을 가진다. 특히 주어진 $x_{0} \in S^{1}$ 와 $\widetilde{x}_{0} \in p^{-1} \left( x_{0} \right)$ 에 대해, $\widetilde{F} \left( 0 , 0 \right) = \widetilde{x}_{0}$ 인 $\widetilde{F}$ 는 유일하게 존재한다.
설명
리프팅 정리lifting theorem는 흔히 단위원 $S^{1}$ 의 성질을 연구하기 위한 보조정리로써 언급되며, 형식적으로formally 보았을 때 패스 리프팅이냐, 호모토피 리프팅이냐 하는 구분은 크게 의미가 없다.
오히려 대부분의 수학도가 궁금해야할 질문은 $X \ne S^{1}$ 인 $f: I^{m} \to X$ 에 대한 일반화가 가능하냐는 부분인데, 팩트로써 컴팩트 공간 $Y$ 에 대해 연속함수 $f: Y \times I^{m} \to X$ 에 대한 리프팅 정리까지 논할 수 있다. 다만 이러한 확장이 실제론 아무짝에도 쓸모가 없어서 직접 배우기엔 과하다고 한다.
증명
전략: 패스 리프팅 정리만 증명한다. 본질적으로 호모토피 리프팅 정리의 증명은 패스 리프팅 정리의 증명과 같다. 패스 리프팅 정리에서 컴팩트 공간인 $I$ 에서 유한하게 구간을 쪼개서 증명하듯 호모토피 리프팅 정리에선 마찬가지로 컴팩트한 공간인 $I^{2}$ 을 유한하게 쪼개서 같은 논의를 반복한다.
Part 1. 세팅
$p : \mathbb{R} \to S^{1}$ 은 커버링이라 했으므로 모든 $x \in S^{1}$ 마다 $p$ 에 의해 이븐하게 커버되는 $x$ 의 네이버후드 $U_{x} \subset S^{1}$ 가 존재한다.
$I = [0,1]$ 는 컴팩트하므로 $I \subset \bigcup_{k=1}^{n} \left[ a_{k-1} , a_{k} \right]$ 를 만족하면서
$$
0 = a_{0} < a_{1} < \cdots < a_{n-1} < a_{n} = 1
$$
인 유한한 점의 집합 $\left\{ a_{k} \right\}_{k=0}^{n} \subset I$ 가 존재한다. 당연히 그들로 만들어지는 구간 $\left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \subset I$ 에 대한 $f$ 의 이미지는 $S^{1}$ 에 포함되며, 특히 어떤 오픈 셋 $U \subset S^{1}$ 에 대해 다음의 포함관계를 만족하게 된다.
$$
f \left( \left[ a_{k-1} , a_{k} \right] \right) \subset U \subset S^{1}
$$
이러한 $U$ 에 대한 커버링 $p$ 의 서로소인인 프리이미지들을 $\widetilde{U}_{t} := p^{-1} \left( U_{t} \right)$ 라 두면 $t \in \mathbb{Z}$ 에 대해 이들 각각은 $U$ 와 호메오멀픽하다.
Part 2. 귀납적 구축
아무 $x \in S^{1}$ 가 아니라 구체적으로 $x_{0} \in S^{1}$ 하나를 픽스했다고 하고, 그에 대한 $p$ 의 프리이미지인 원소 중 하나를 $\widetilde{x}_{0} := p^{-1} \left( x_{0} \right) \in \mathbb{R}$ 이라 나타내자. 원래 세팅에 따르면 이러한 원소들의 집합은 $\mathbb{Z}$ 와의 사이에 전단사가 존재하는데, 그들 중 무엇이 되든 상관없다.
우리는 한 번에 $I$ 전체가 아니라 $\left[ 0, a_{k} \right]$ 에 대해 $\widetilde{f}_{k} (0) = \widetilde{x}_{0}$ 를 만족하는 리프팅 $\widetilde{f}_{k}$ 을 귀납적으로 정의해서 결과적으로 $\widetilde{f}$ 를 찾으려한다.
- $k = 0$ 일 땐 그냥 $\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{x}_{0}$ 라고 두며, 달리 선택의 여지가 없다.
- $k \ne 0$ 일 때 연속함수 $\widetilde{f}_{k} : \left[ 0 , a_{k} \right] \to \mathbb{R}$ 가 유일하게 정의된다고 가정하자.
- 어떤 유일한 $\widetilde{U} \in \left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}$ 에 대해 $\widetilde{f} \left( a_{k} \right) \in \widetilde{U}$ 이다.
- $\widetilde{f}_{k}$ 는 연속이고 구간 $\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]$ 는 경로연결되었으므로, $\widetilde{f}_{k}$ 의 확장함수 $\widetilde{f}_{k+1}$ 가 어떻게 정의되든 적어도 $\left[ a_{k} , a_{k+1} \right]$ 는 반드시 $\widetilde{U}$ 내부로 매핑해야만 한다.
- $p$ 가 커버링이므로 모든 $t \in \mathbb{Z}$ 에 대해 호메오멀피즘 $p | \widetilde{U}_{t} : \widetilde{U}_{t} \to U$ 가 존재하며, 이에 따라 $$ p \circ \rho_{k} = f | \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] $$ 를 만족시키는 유일한 함수 $\rho_{k} : \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \to \widetilde{U}$ 가 존재한다. 이러한 함수 $\rho_{k}$ 가 존재한다는 것은 $p$ 의 제한함수인 호메오멀피즘이 존재하는 것에 근거하므로―다시 말해 단사라는 점에 따른 것이므로 $\rho_{k} \left( a_{k} \right) = \widetilde{f}_{k} \left( a_{k} \right)$ 이며, $\rho_{k}$ 의 연속성을 보장하기도 한다.
접착 보조정리: 위상공간 $X,Y$ 에 대해 두 닫힌 집합 $A,B \subset X$ 이 $A \cup B = X$ 를 만족하고 두 연속함수 $f : A \to Y$ 와 $g : B \to Y$ 가 모든 $x \in A \cap B$ 에 대해 $f(x) = g(x)$ 라고 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 $h$ 는 연속함수다. $$ h(x) : = \begin{cases} f(x), & x \in A \\ g(x), & x \in B \end{cases} $$
- 접착 보조정리에 따라 다음과 같은 연속함수 $\widetilde{f}_{k+1} : \left[ 0 , a_{k+1} \right] \to \mathbb{R}$ 을 유일하게 정의할 수 있다. $$ \widetilde{f}_{k+1} := \begin{cases} \widetilde{f}_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ 0, a_{k} \right] \\ \rho_{k} (s) & , \text{if } s \in \left[ a_{k} , a_{k+1} \right] \end{cases} $$
수학적 귀납법에 따라 $S^{1}$ 은 $t \in \mathbb{Z}$ 바퀴만큼 감기는 나선으로 가는 리프팅이 구체적으로 존재한다. 여기서 $k = 0, 1, \cdots , n$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 위아래로 움직이는 인덱스가 아니라 $S^{1}$ 을 회전하면서 유한하게 쪼개는 인덱스라는 것을 잘 상상할 수 있어야 한다. $k$ 가 $1$씩 커질때마다 $\mathbb{R}$ 에서는 정수의 수만큼 많은 구간들의 집합 $\left\{ \widetilde{U}_{t} \right\}_{t \in \mathbb{Z}}$ 도 같이 회전하며 움직이다.
Part 3. 호모토피 리프팅 정리
- $0$ 부터 $n-1$ 까지의 정수를 모아놓은 집합 $\left\{ 0, 1, \cdots , n-1 \right\}$ 을 간단히 $0:n$ 이라고 쓰자.
$I$ 가 컴팩트라는 것을 근거로 $0 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1$ 을 잡을 수 있었듯, $I^{2}$ 역시 컴팩트기 때문에 $$ \begin{align*} 0 = a_{0} < \cdots < a_{n} = 1 \\ 0 = b_{0} < \cdots < b_{m} = 1 \end{align*} $$ 와 같이 정사각형을 격자로 자르는 유한한 두 자연수 $n , m \in \mathbb{N}$ 가 존재하며, 그 작은 각각의 칸을 $i = 0:n$, $j = 0:m$ 에 대해 $$ R_{i,j} := \left[ a_{i-1}, a_{i} \right] \times \left[ b_{j-1} , b_{j} \right] \subset I^{2} $$ 라 정의하면 $$ R_{0,0} , R_{0,1} , \cdots , R_{0,m} , R_{1,0} \cdots, R_{n,m} $$ 와 같이 작은 직사각형들의 시퀀스를 얻는다. 이에 대해 패스 리프팅 정리에서 했던 논의를 반복하면 호모토피 리프팅 정리가 증명된다.
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