📂위상데이터분석

호모토피의 클래스

정리

간략한 서술

어떤 위상공간이든, 픽스된 두 점 사이에서 정의된 호모토피 상의 관계는 동치관계다.

자세한 서술

위상공간 $X$ 와 두 점 $x_{0}, x_{1} \in X$ 가 주어져 있다고 하자. 두 점 사이의 패스^path $f, g : I \to X$ 가 호모토픽하면 $f \simeq g$ 과 같이 나타낼 때, 이 이항관계 $\simeq$ 는 동치관계다. 한편, 이러한 동치관계 $\simeq$ 로 만들어지는 동치류 $\left\{ g : f \simeq g \right\}$ 를 $[f]$ 와 같이 나타낸다.

설명

언뜻 이 정리는 공간 $X$ 에서 주어진 점 $x_{0}, x_{1}$ 이 있을 때 그 모든 패스가 두 점만으로 표현되는 것으로 오해될 수 있다. 그러나 그것은 우선 모든 패스에 대한 호모토피가 존재할 때의 이야기고, 간단한 예로써 토러스를 생각해보면 다음과 같이 공간의 한가운데가 뚫려있어 ‘모든 패스’에 대해 호모토피가 존재할 수는 없다.

다행스럽게도 일반적인 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{p}$ 에서는 성립하며, 더 일반적으로 컨벡스한 벡터공간이라면 바로 윗 단락에서의 추측이 맞아떨어질 것임을 짐작할 수 있다.

증명 ¹

$\simeq$ 이 반사적^reflexive이며, 대칭적^symmetric이며, 추이적^transitive임을 보이면 된다. 반사성은 $f \simeq f$ 사이에 $\left\{ h_{t} = f \right\}$ 라는 상수^constant 호모토피가 존재하므로 자명하다. 대칭성 역시 $f$ 와 $g$ 사이에 존재하는 $h_{t}$ 에 대해 $\left\{ h_{1-t} \right\}$ 가 $g$ 와 $f$ 사이의 호모토피로써 존재하므로 자명하다. 추이성은 조금 까다롭다. 패스 $f : I \to X$ 에 대응되는 이변수 연속함수 $f$ 가 $$ F : I \times I \to X $$ 이고, 패스 $g : I \to X$ 에 대응되는 이변수 연속함수 $G$ 가 $$ G : I \times I \to X $$ 라고 할 때, 이들 사이를 중계하는 패스 $h$ 에 대응되는 이변수 연속함수를 $$ H (s,t) = \begin{cases} F \left( s, 2t \right) & , \text{if } t \in [0,1/2] \\ G \left( s, 2t - 1 \right) & , \text{if } t \in [1/2,1] \end{cases} $$ 과 같이 정의해보면, 곧 $f \simeq h$ 고 $h \simeq g$ 면 $f \simeq g$ 이 되게끔 하는 호모토피가 존재함을 직접 확인할 수 있다. 도식으로 나타내보면 다음과 같이 그냥 $I^{2}$ 에서 정의된 두 함수의 정의역을 반으로 축소시켜서 이어붙여놓은 모양새가 된다.

이 증명에서 제시된 $h_{t}$ 들이 함수로써 잘 정의되었는지^well-defined, 정말로 연속인지에 대한 논의는 생략한다.

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