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호몰로지 그룹의 베티 수 📂위상데이터분석

호몰로지 그룹의 베티 수

개요

기하적인 의미를 생각하지 않을 때 담백하게 정의만 적어보자면, 대수위상algebraic Topology에서 베티 수betti number란 단지 체인 컴플렉스에서 호몰로지 그룹의 랭크에 불과하다. 문제는 이러한 설명이 베티 수의 의미를 궁금해하는 이에게 전혀 도움이 되지 않으며, 그 구체적인 계산 또한 막막하기 때문에 예시로써 익히기도 어렵다는 것이다.

이 포스트에서는 적어도 두번째 질문에 대한 답―베티 수를 어떻게 구하는지에 대한 정리와 그 상세한 증명을 소개한다. 아래에 소개되는 정리에 따르면 주어진 체인 컴플렉스에 따라 어떤 행렬을 찾을 수 있으며, 그에 대한 일련의 계산과정을 통해 다음과 같은 명시적explicit인 공식을 도출할 수 있다. βp=rank⁡?1−rank⁡?2 \beta_{p} = \rank ?_{1} - \rank ?_{2}

본디 수학적인 내용일수록 수학을 사용하지 않고 전달할 수 있는 것이 가장 좋은 설명이지만, 베티 수의 경우에는 그 공식의 유도과정 속에서 그 근본적인 원리를 깨달을 수 있다고 본다. 학부생 정도라면 증명의 난이도가 꽤 높아서 따라오기 어렵겠지만, 최대한 생략 없이 자세하게 풀어썼으니 적어도 한 번 시도는 해보는 걸 추천한다.

정리

호몰로지 그룹의 정의:

  1. n∈N0n \in \mathbb{N}_{0} 이라 하자. 아벨리안 그룹 CnC_{n} 와 호모몰피즘 ∂n:Cn⟶Cn−1\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1} 의 체인 ⋯⟶Cn+1⟶∂n+1Cn⟶∂nCn−1⟶⋯⟶C1⟶∂1C0⟶∂00 \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 이 모든 nn 에 대해 ∂n∘∂n+1=0 \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 를 만족하면 C:={(Cn,∂n)}n=0∞\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty} 을 체인 컴플렉스chain Complex라 한다.
  2. 쿼션트 그룹 Hn:=ker⁡∂n/Im⁡∂n+1H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1} 을 C\mathcal{C} 의 nn번째 호몰로지 그룹nn-th Homology group이라 한다.
  3. 호모몰피즘 ∂n:Cn⟶Cn−1\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1} 를 바운더리boundary 혹은 미분differential 오퍼레이터라 부른다.
  4. Zn:=ker⁡∂nZ_{n} := \ker \partial_{n} 의 원소를 nn-사이클cycles, Bn:=Im⁡∂n+1B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1} 의 원소를 nn-바운더리boundary라 부른다.

프리 체인 컴플렉스의 표준 기저 분해

체인컴플렉스 C:={(Cp,∂p)}\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{p}, \partial_{p} \right) \right\} 의 모든 CpC_{p} 가 유한 랭크를 가지는 프리 그룹이라 하자. 그러면 모든 pp 와 Zp:=ker⁡∂pZ_{p} := \ker \partial_{p} 에 대해 다음을 만족하는 부분군 Up,Vp,Wp⊂CpU_{p}, V_{p}, W_{p} \subset C_{p} 과 가 존재한다. Cp=Up⊕Vp⊕Wp=Up⊕Zp \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ =& U_{p} \oplus Z_{p} \end{align*} ∂p(Up)⊂WpZp=Vp⊕Wp \begin{align*} \partial_{p} \left( U_{p} \right) \subset & W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} 물론 ZpZ_{p} 는 ∂p\partial_{p} 의 커널이므로 ∂p(Vp)=0\partial_{p} \left( V_{p} \right) = 0 이고 ∂p(Wp)=0\partial_{p} \left( W_{p} \right) = 0 이다. 더 나아가, UpU_{p} 에서 ∂p\partial_{p} 의 제한함수 ∂p∣Up:Up→Wp−1{\partial_{p}}_{| U_{p}} : U_{p} \to W_{p-1} 는 다음과 같은 꼴의 스미스 노멀 폼을 가진다. [b1⋯0⋮⋱⋮0⋯bl] \begin{bmatrix} b_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{l} \end{bmatrix} 여기서 bi∈Nb_{i} \in \mathbb{N} 이고 b1∣⋯∣blb_{1} \mid \cdots \mid b_{l} 다.

호몰로지 그룹의 효율적 계산가능성 1

Hp(C)H_{p} \left( \mathcal{C} \right) 의 베티 수를 C\mathcal{C} 의 pp번째 베티 수betti number라 한다. 유한 컴플렉스 KK 의 βp\beta_{p} 는 다음과 같다. βp=rank⁡Zp−rank⁡Bp \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} 그 구체적인 값은 다음과 같이 ∂p\partial_{p} 의 스미스 노멀 폼에 의해 계산할 수 있다. 그림에서 파란 점선은 11 인 대각성분, 주황 실선은 11 이 아닌 대각성분을 나타내며 그 외의 모든 성분은 00 이다2.

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여기서 중요한 것은 스미스 노멀 폼에서 11 의 갯수 rank⁡Bp−1\rank B_{p-1} 와, 영벡터인 칼럼의 수 rank⁡Zp\rank Z_{p} 다.

증명 3

Part 1. Bp⊂Wp⊂Zp⊂CpB_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}

Zp:=ker⁡∂pBp:=Im⁡∂p+1Wp:={cp∈Cp:λcp∈Bp,∀m≠0} \begin{align*} Z_{p} :=& \ker \partial_{p} \\ B_{p} :=& \operatorname{Im} \partial_{p+1} \\ W_{p} :=& \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} \end{align*} 이라 두자. 특히 WpW_{p} 는 CpC_{p} 의 부분군이 되며, λ=1\lambda = 1 만 생각했을 때 Bp=WpB_{p} = W_{p} 라는 점에서 바운더리boundary BpB_{p} 의 조건을 약화시킨 것으로 볼 수 있으므로 약한 바운더리weak Boundaries라 부른다.

  • WpW_{p} 의 정의에서 λ≠1\lambda \ne 1 을 생각해보면 Bp⊂Wp B_{p} \subset W_{p}
  • ZpZ_{p} 의 정의에서 ∀zp∈Zp\forall z_{p} \in Z_{p} 는 ∂pzp=0\partial_{p} z_{p} = 0 고, Zp=ker⁡∂pZ_{p} = \ker \partial_{p} 는 ∂p:Cp→Cp−1\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1} 이므로 Zp⊂Cp Z_{p} \subset C_{p}
  • CpC_{p} 는 프리 그룹이라 가정했으므로 토션-프리, 즉 ∀zp∈Zp⊂Cp\forall z_{p} \in Z_{p} \subset C_{p} 에 대해 λzp=0\lambda z_{p} = 0 를 만족하는 λ≠0\lambda \ne 0 이 존재하지 않는다. 한편 모든 cp+1∈Cp+1c_{p+1} \in C_{p+1} 에 대해 ∂p+1cp+1=λzp∈Wp \partial_{p+1} c_{p+1} = \lambda z_{p} \in W_{p} 의 양변에 ∂p\partial_{p} 를 취해보면 0=∂p∂p+1cp+1=∂pλzp=λ∂pzp 0 = \partial_{p} \partial_{p+1} c_{p+1} = \partial_{p} \lambda z_{p} = \lambda \partial_{p} z_{p} 이므로 ∂pzp=0\partial_{p} z_{p} = 0 이어야 한다. 이는 λzp∈Wp\lambda z_{p} \in W_{p} 이면 λzp∈Zp\lambda z_{p} \in Z_{p} 라는 것이므로 Wp⊂Zp W_{p} \subset Z_{p}

이와 같은 고찰에서 우리는 다음의 포함관계를 얻는다. Bp⊂Wp⊂Zp⊂Cp B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}

Part 2. Wp⊂ZpW_{p} \subset Z_{p} 는 ZpZ_{p} 의 피직합군direct Summand이다

  • pp번째 호몰로지 그룹 Hp(C)=Zp/BpH_{p} \left( \mathcal{C} \right) = Z_{p} / B_{p} 의 정의에서 proj1:Zp→Hp(C) \text{proj}_{1} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) 은 잉여류 BpB_{p} 에 해당하는 만큼의 랭크가 떨어진 프로젝션이고
  • Hp(C)H_{p} \left( \mathcal{C} \right) 의 토션 서브 그룹 Tp(C)⊂Hp(C)T_{p} \left( \mathcal{C} \right) \subset H_{p} \left( \mathcal{C} \right) 에 대해 proj2:Hp(C)→Hp(C)/Tp(C) \text{proj}_{2} : H_{p} \left( \mathcal{C} \right) \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) 역시 프로젝션이다.

제1동형 정리: 준동형사상 ϕ:G→G′\phi : G \to G' 이 존재하면 G/ker⁡(ϕ)≃ϕ(G)G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)

이에 따라 proj:=proj1∘proj2\text{proj} := \text{proj}_{1} \circ \text{proj}_{2} 와 같이 정의된 proj:Zp→Hp(C)/Tp(C) \text{proj} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) 역시 프로젝션이다. WpW_{p} 의 원소는 ∂p+1dp+1\partial_{p+1} d_{p+1} 와 같이 표현되었으므로, 이 프로젝션 proj\text{proj} 의 커널은 WpW_{p} 고 모든 프로젝션은 전사surjection이므로 제1동형 정리에 따라 Zp/Wp≃Hp/Tp Z_{p} / W_{p} \simeq H_{p} / T_{p} 가 성립한다. 여기서 우변의 HpH_{p} 가 어떻게 생겨먹었든 토션 서브 그룹 TpT_{p} 로 쳐냈으니 토션-프리고, 이에 따라 좌변의 Zp/WpZ_{p} / W_{p} 역시 토션 프리임이 보장된다. 그러면 α1,⋯ ,αk\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k} 가 Zp/WpZ_{p} / W_{p} 의 기저고, α1′,⋯ ,αl′∈Wp\alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l} \in W_{p} 가 WpW_{p} 의 기저라 두었을 때, α1,⋯ ,αk,α1′,⋯ ,αl′\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}, \alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l} 은 ZpZ_{p} 의 기저가 된다. 따라서 ZpZ_{p} 는 Zp=Vp⊕Wp Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p} 와 같이 α1,⋯ ,αk\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k} 을 기저로 가지는 부분군 VpV_{p} 과 WpW_{p} 의 직합으로 나타낼 수 있다.

Part 3. Zp,Bp−1,Wp−1Z_{p}, B_{p-1}, W_{p-1} 의 기저

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼: 프리 아벨리안 그룹 GG, G′G' 의 랭크가 각각 n,mn,m 이고 f:G→G′f : G \to G' 가 호모몰피즘이라면, 다음과 같은 행렬을 가지는 호모몰피즘 gg 가 존재한다. [d1000⋯00⋱00⋯000dr0⋯00000⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮0000⋯0]∈Zm×n \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n} 여기서 d1,⋯ ,dr∈Nd_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N} 이고 d1∣⋯∣drd_{1} \mid \cdots \mid d_{r}, 즉 dkd_{k} 는 dk+1d_{k+1} 의 약수divisor여야한다.

∂p:Cp→Cp−1\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1} 는 다음과 같은 스미스 노멀 폼의 m×nm \times n 행렬을 갖는다.

e1⋯elel⋯ene1′⋮el′el′⋮em′[d1000⋯00⋱00⋯000dr0⋯00000⋯0⋮⋮⋮⋮⋱⋮0000⋯0] \begin{matrix} & \begin{matrix} e_{1} & \cdots & e_{l} & e_{l} & \cdots & e_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e'_{1} \\ \vdots \\ e'_{l} \\ e'_{l} \\ \vdots \\ e'_{m} \end{matrix} & \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \end{matrix}

이에 우리는 직접적인 계산을 통해 다음 세가지를 보일 것이다:

  • (1): el+1,⋯ ,ene_{l+1} , \cdots , e_{n} 은 ZpZ_{p} 의 기저다.
  • (2): b1e1′,⋯ ,blel′b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l} 은 Bp−1B_{p-1} 의 기저다.
  • (3): e1′,⋯ ,el′e'_{1} , \cdots , e'_{l} 은 Wp−1W_{p-1} 의 기저다.

소증명

  • ∂p\partial_{p} 의 정의에 따라 일반적인 cp∈Cpc_{p} \in C_{p} 에 대해 다음이 성립한다. cp=∑i=1naiei  ⟹  ∂pcp=∑i=1laibiei′ c_{p} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} e_{i} \implies \partial_{p} c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i}
  • (1): bi≠0b_{i} \ne 0 이므로, Zp=ker⁡∂pZ_{p} = \ker \partial_{p} 인 필요충분조건은 i=1⋯ ,li = 1 \cdots , l 에 대해 ai=0a_{i} = 0 이다. 따라서 el+1,⋯ ,ene_{l+1} , \cdots , e_{n} 은 ZpZ_{p} 의 기저다.
  • (2): 모든 ∂pcp∈Bp−1\partial_{p} c_{p} \in B_{p-1} 는 b1e1′,⋯ ,blel′b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l} 의 선형결합으로 표현되고, bi≠0b_{i} \ne 0 이므로 b1e1′,⋯ ,blel′b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l} 는 Bp−1B_{p-1} 의 기저다.
  • (3): biei′=∂eib_{i} e'_{i} = \partial e_{i} 이므로, 일단 e1′,⋯ ,el′∈Wp−1e'_{1}, \cdots, e'_{l} \in W_{p-1} 이다. 역으로, cp−1∈Cp−1c_{p-1} \in C_{p-1} 을 cp−1=∑i=1mdiei′ c_{p-1} = \sum_{i=1}^{m} d_{i} e'_{i} 이라 두고 cp−1∈Wp−1c_{p-1} \in W_{p-1} 이라 가정해보면 Wp−1W_{p-1} 가 Wp−1={cp∈Cp:λcp∈Bp,∀m≠0}W_{p-1} = \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} 와 같이 정의되어 있었으므로, cp−1c_{p-1} 는 어떤 λ≠0\lambda \ne 0 에 대해 λcp−1=∂cp=∑i=1laibiei′ \lambda c_{p-1} = \partial c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} 의 꼴로 나타날 수 있어야 한다. 계수를 비교해보면 i>li > l 에 대해서는 λdi=0  ⟹  di=0 \lambda d_{i} = 0 \implies d_{i} = 0 임을 얻는다. 따라서 e1′,⋯ ,el′e'_{1} , \cdots , e'_{l} 은 Wp−1W_{p-1} 의 기저다.

Part 4. ‘프리 체인 컴플렉스의 표준 기저 분해’의 증명

CpC_{p} 와 Cp−1C_{p-1} 에 대해 지금까지의 논의에서 등장하는 e1,⋯ ,ele_{1} , \cdots , e_{l} 으로 생성되는 프리 그룹을 UpU_{p} 라 하면 Zp=Vp⊕WpZ_{p} = V_{p} \oplus W_{p} 이므로 ∂Vp=∂Wp=0\partial V_{p} = \partial W_{p} = 0 이면서 Cp=Up⊕Zp=Up⊕(Vp⊕Wp) \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus Z_{p} \\ =& U_{p} \oplus \left( V_{p} \oplus W_{p} \right) \end{align*} 을 얻는다. 여기서 WpW_{p} 와 ZpZ_{p} 는 CpC_{p} 에 따라 유일하지만 UpU_{p} 와 VpV_{p} 는 딱히 유일할 필요가 없었음을 알아두어라.

Part 5. ‘호몰로지 그룹의 효율적 계산가능성’의 증명

Part 4에 따라 컴플렉스 KK 에 대해 다음의 분해가 존재함을 보장할 수 있다. Cp(K)=Up⊕Vp⊕WpZp=Vp⊕Wp \begin{align*} C_{p} \left( K \right) =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*}

직합의 성질: G=G1⊕G2G = G_{1} \oplus G_{2} 이라고 하자. 만약 H1H_{1} 이 G1G_{1} 의 부분군, H2H_{2} 가 G2G_{2} 의 부분군이라면, H1H_{1} 와 H2H_{2} 역시 직합으로 나타낼 수 있으며 특히 다음이 성립한다. GH1⊕H2≃G1H1⊕G2H2{{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}

  • [1]: H1≃G1H_{1} \simeq G_{1} 이고 H2≃{0}H_{2} \simeq \left\{ 0 \right\} 이라 두면 G/G1≃G2 G / G_{1} \simeq G_{2}
  • [2]: H1≃{0}H_{1} \simeq \left\{ 0 \right\} 라 두면 GH2≃G1⊕G2H2 {{ G } \over { H_{2} }} \simeq G_{1} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}

Part 1에서 Bp⊂Wp⊂Zp⊂CpB_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p} 이었으므로, 직합의 성질에 따라 Hp(K)=Zp/Bp=(Vp⊕WpBp)=Vp⊕(WpBp)∵[2]=(ZpWp)⊕(WpBp)∵[1] \begin{align*} H_{p} \left( K \right) =& Z_{p} / B_{p} \\ =& \left( {{ V_{p} \oplus W_{p} } \over { B_{p} }} \right) \\ =& V_{p} \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [2] \\ =& \left( {{ Z_{p} } \over { W_{p} }} \right) \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [1] \end{align*} 을 얻는다. 여기서 Hp(K)=(Zp/Wp)⊕(Wp/Bp)H_{p} \left( K \right) = \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right) 의

  • Zp/WpZ_{p} / W_{p} 는 프리 파트고
  • Wp/BpW_{p} / B_{p} 는 토션 파트다.

이에 따라 KK 의 pp번째 베티 수 βp\beta_{p} 는 다음과 같이 구해진다. βp=rank⁡Hp(K)=rank⁡[(Zp/Wp)⊕(Wp/Bp)]=rank⁡(Zp/Wp)+rank⁡(Wp/Bp)=[rank⁡Zp−rank⁡Wp]+[rank⁡Wp−rank⁡Bp]=rank⁡Zp−rank⁡Bp \begin{align*} \beta_{p} =& \rank H_{p} \left( K \right) \\ =& \rank \left[ \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right) \right] \\ =& \rank \left( Z_{p} / W_{p} \right) + \rank \left( W_{p} / B_{p} \right) \\ =& \left[ \rank Z_{p} - \rank W_{p} \right] + \left[ \rank W_{p} - \rank B_{p} \right] \\ =& \rank Z_{p} - \rank B_{p} \end{align*}

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한편 Hp−1(K)H_{p-1}(K) 의 토션 파트과 b1∣⋯∣bl∈Nb_{1} | \cdots | b_{l} \in \mathbb{N} 에 대해서는 다음과 같은 아이소멀피즘이 존재함을 알 수 있다. Wp−1/Bp−1≃(Zb1Z)⊕⋯⊕(ZblZ) W_{p-1} / B_{p-1} \simeq \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{1} \mathbb{Z} }} \right) \oplus \cdots \oplus \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{l} \mathbb{Z} }} \right) 여기서 i≤li \le l 에 대해 bi=1b_{i} = 1 이라는 것, 다시 말해 Bp−1B_{p-1} 의 랭크가 ll 라는 것은 Z/biZ=Z/Z={0} \mathbb{Z} / b_{i} \mathbb{Z} = \mathbb{Z} / \mathbb{Z} = \left\{ 0 \right\} 이므로 Wp−1W_{p-1} 의 랭크가 ll 만큼 깎인다는 것을 알아두자.

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예시

토러스

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β0=1β1=2β2=1 \begin{align*} \beta_{0} =& 1 \\ \beta_{1} =& 2 \\ \beta_{2} =& 1 \end{align*}

토러스의 베티 수는 위와 같이 알려져 있다. 이 토러스의 체인 컴플렉스가 위 그림과 같이 정의된다고 할 때 예시로써 β1=2\beta_{1} = 2 만 구해보자. 위에서 유도한 공식을 사용하지 않고 그냥 수학적으로 고민해서 구하는 방법도 있지만, 읽어보면 알 수 있다시피 머리가 아파올 정도로 어렵다. 이와 대비되는 느낌으로 ‘호몰로지를 효율적으로 계산한다는 것’이 얼마나 편한지 알아보자.

호모몰피즘의 스미스 노멀 폼: 프리 아벨리안 그룹 GG 와 G′G' 에 대해 a1,⋯ ,ana_{1} , \cdots , a_{n} 가 GG 의 기저고, a1′,⋯ ,am′a_{1}' , \cdots , a_{m}' 가 G′G' 의 기저라 하자. 만약 함수 f:G→G′f : G \to G' 가 호모몰피즘이라면 다음을 만족하는 유일한 정수의 집합 {λij}⊂Z\left\{ \lambda_{ij} \right\} \subset \mathbb{Z} 이 존재한다. f(aj)=∑i=1mλijai′ f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}' 이 때 행렬 (λij)∈Zm×n\left( \lambda_{ij} \right) \in \mathbb{Z}^{m \times n} 을 (GG 와 G′G' 의 기저에 관한) ff 의 행렬이라 부른다.

β1=rank⁡Z1−rank⁡B1\beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} 이므로 적어도 바운더리 행렬 (∂1)\left( \partial_{1} \right) 과 (∂2)\left( \partial_{2} \right) 을 구해야한다. 모든 a,b,c∈C1(T)a , b, c \in C_{1} (T) 에 대해 ∂1(a)=v−v=0=0v∂1(b)=v−v=0=0v∂1(c)=v−v=0=0v \begin{align*} \partial_{1} (a) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (b) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (c) =& v - v = 0 = 0v \end{align*} 이므로 (∂1)=[000]  ⟹  Z1=3,B0=0 \left( \partial_{1} \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{1} = 3 , B_{0} = 0 을 얻는다. ZpZ_{p} 는 행렬의 우측에서 영벡터의 수고, Bp−1B_{p-1} 는 행렬에서 11 의 수다. 이어서 ∂2\partial_{2} 을 생각해보면 ∂2(U)=−a−b+c∂2(L)=a+b−c \begin{align*} \partial_{2} (U) =& -a -b +c \\ \partial_{2} (L) =& a + b - c \end{align*} 이므로 (∂2)=[−11−111−1]∼[100000]  ⟹  Z2=1,B1=1 \left( \partial_{2} \right) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{2} = 1 , B_{1} = 1 을 얻는다. 이를 종합하면 토러스의 11번째 베티 수 β1\beta_{1} 는 다음과 같이 계산된다. β1=rank⁡Z1−rank⁡B1=3−1=2 \beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} = 3 - 1 = 2 당연하지만 이 결과는 이 포스트에 소개된 정리들에 따라 프리 그룹이 어떻고 아이소멀피즘이 어떻고 하면서 온갖 수학적 지식을 동원해서 구한 값과 일치함이 보장된다. 조금 함부로 말하자면 뇌를 빼고 시키는대로만 계산하면 베티 수, 그러니까 ‘호몰로지’를 ‘계산’할 수 있다고 요약할 수 있겠다. 한편 조금 더 좋게 표현한다면, 컴퓨터를 통해 위상수학을 연구하는 길이 보이게 된 것이다.

  1. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58. ↩︎

  2. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p104. ↩︎

  3. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58~61. ↩︎