📂수리통계학

최선불편추정량, 최소분산불편추정량 UMVUE

정의 ¹

모수 $\theta$ 가 주어져 있다고 하자. 불편추정량 $W^{\ast}$ 가 다른 모든 불편추정량 $W$ 에 대해 다음을 만족하면 최선불편추정량^{best unbiased estimator} 혹은 최소분산불편추정량^{UMVUE, Uniform Minimum Variance Unbiased Estimator}이라 한다. $$ \operatorname{Var}_{\theta} W^{\ast} \le \operatorname{Var}_{\theta} W \qquad , \forall \theta $$

설명

UMVUE는 가장 앞의 Uniform을 떼고 그냥 MVUE라고 할 때도 있다. UMVUE가 너무 길기도 하고 최선^best이라는 표현이 찰떡같긴한데 최소분산^{minimum variance}이 아주 직관적이기도 하고 Best가 학술적인 단어가 아니기도 해서인지 최선불편추정량이라는 표현은 한국어와 영어를 통틀어 좀처럼 쓰이지 않는다.

효율적추정량과의 차이

언뜻 보면 효율적추정량와 비슷해보이는데, 효율적추정량은 그 분산이 정확히 라오-크래머 하한까지 낮아져서 이론적으로 더보다 좋을 수 없는 불편추정량이고, 최선불편추정량은 이론적인 한계까진 아니더라도 다른 모든 불평추정량만 압도하면 된다. 최선을 다한다고 반드시 효율성이 $1$ 이 된다는 보장은 없으며, 분산을 이론적인 하한까지 최소화하지 못하더라도 최선불편추정량이 되는 것에는 전혀 문제가 없다.

효율적추정량이면 최선불편추정량이지만, 이 역은 성립하지 않는다.