📂기하학

프레네-세레의 도구: 곡률, 접선, 법선, 종법선, 비틀림

정의 ¹

$\alpha$ 가 단위 스피드 커브라고 하자.

1. 탄젠트 $T(s) = \alpha^{\prime} (s)$ 의 스피드^{speed, 속력} $\kappa (s) := \left| T^{\prime}(s) \right|$ 를 $\alpha (s)$ 의 곡률^curvature이라 한다.
2. $\alpha$ 의 탄젠트의 속도^velocity $T^{\prime}(s)$ 를 곡률 $\kappa (s)$ 로 나눈 함수, 즉 다음과 같이 정의된 $N$ 을 노멀^normal 벡터필드라고 한다. $$N(s) := {{ T^{\prime}(s) } \over { \left| T^{\prime}(s) \right| }} = {{ T^{\prime}(s) } \over { \kappa (s) }},\qquad \kappa (s) \ne 0$$
3. 다음과 같이 정의된 $B$ 를 바이노멀^binormal 벡터필드라고 한다. $$B(s) := T(s) \times N(s)$$
4. 다음과 같이 정의된 스칼라 함수 $\tau$ 를 토션^torsion이라 한다. $$\tau (s) := - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right>$$
5. 다음과 같이 탄젠트, 노멀, 바이노멀, 커버쳐, 토션을 모아놓은 집합을 프레네-세레의 도구^{frenet-Serret Apparatus}라 한다. $$\left\{ T(s), N(s), B(s), \kappa (s), \tau (s) \right\}$$

설명

• 행여라도 정의에서 스피드의 순화가 속도이냐, 속력이냐 하는 차이에 사로잡혀 쓸데없는 고민은 하지 말도록 하자. 헷갈릴 바에는 그냥 스피드로 외우는 게 낫다.
• 특히 직교 집합 $\left\{ T(s), N(s), B(s) \right\}$ 를 프레네-세레 프레임^frame이라 한다.
• 정의에서 $\alpha$ 는 단위 스피드 커브지만, 간단하게 일반화 할 수 있다.

곡률

당연히 원서로 공부하는 사람은 [커버쳐]라는 발음이 익숙하지만, 글로 적으면 곡률이 훨씬 자연스러워 이를 혼용하려 한다.

수식에서 곡률은 쉽게 말해 탄젠트(접선, 방향)이 변하는 양을 나타낸다. 곡선에서 방향이 변하는 양이 크다는 것은 그 자체로 곡선이 얼마나 휘었는지를 말해주므로 타당한 정의라 말할 수 있겠다. 당연하지만 $\kappa (s) = 0$ 이면 커브는 직선이다.

$\alpha$가 단위 스피드가 아닌 일반적인 경우의 정의는 다음과 같다.

$$\begin{equation} \kappa (t) := \dfrac{\left| T^{\prime}(t) \right|}{\left| \alpha^{\prime}(t) \right|} \end{equation}$$

노멀

Normal은 보통 그렇듯 ‘정규’로 번역되지 않고 ‘법선’으로 순화된다. 노멀도 그렇지만 이는 Binormal과 함께 생각했을 때 별로 좋은 번역이 아니다. 기하학의 맥락에서 Normal은 ‘수직’ 정도로 이해하는 게 정신건강에 좋다. 그에 따르면 ‘노멀’하다는 것은 무언가에 ‘수직한’ 것으로 받아들일 수 있다.

노멀 벡터는 정의 상 그 크기가 항상 $1$로 고정되며, $\alpha^{\prime} = T$ 이므로 $N$ 은 $\alpha$ 의 이계도함수에 해당한다. 토션의 정의에서 $B^{\prime} = T^{\prime} \times N + T \times N^{\prime}$ 까지 다루게 된다는 점을 생각해보면 프레네-세레의 도구를 다루기 위해 $\alpha$ 는 적어도 세 번은 미분가능해야할 것임을 알 수 있다.

주단위법선벡터^{principle unit normal vector}라고도 한다.

바이노멀

Binormal은 ‘종법선’으로 순화되는데, 법선에 從^{따를 종}한다 하여 붙여진 이름인 것 같다. 위에서 언급했던 ‘노멀’의 느낌에 따르면 Bi(2, 둘)이 붙은 Bi-normal은 탄젠트와 노멀 ‘둘 다에 수직한’의 느낌이 된다.

이는 수식으로 보면 더욱 명확해진다. 정의 그 자체를 탄젠트와 노멀의 외적으로 하기 때문에 그 이름부터가 탄젠트, 노멀에 노멀하라(수직하라)고 작정한 느낌을 낸다.

토션

Torsion은 한자어 번역 없이 ‘비틀림’으로 순화되며 일본어조차 [네지레]^捩れ2로 히라가나가 섞인다. 이렇듯 Torsion의 그 뜻을 살려내는 번역들이 죄다 애매하고 ‘비틀림’이라는 말 자체도 학술적인 용어로는 다소 부적절한 느낌이 있어 영어 발음 그대로 [토션]이라 부르는 게 제일 편할 것이다.

정의에서 마이너스 $-$ 가 붙고 안 붙고는 별로 중요하지 않고 그냥 관습이다.

수식만 보았을 때 토션은 왜 이렇게 정의되었는지 도무지 이해할 수가 없는데, 공부를 좀 더 해봐야 수식적으로 납득할 수 있을 것이다. 당장은 ‘이렇게 정의하면 수식적으로 깔끔한 게 많아서’라 납득하고 넘어가도 되지만 이것이 기하학을 공부하면서 좋은 태도는 분명 아닐 것이다. 어거지라도 직관적으로 납득해보자.

$\alpha (s)$ 를 따라 $B(s)$ 에 수직인 평면을 접평면³ 이라고 하는데, $B$ 가 상수, 그러니까 일정하다면 곡선 $\alpha$ 의 접평면도 변하지 않으므로 $\mathbb{R}^{3}$ 속 한 평면에 놓이게 될 것이다.

한편 위에서 언급했듯 법선 벡터의 스피드는 항상 $|N| = \left| T^{\prime} / \left| T^{\prime} \right| \right| = 1$ 이므로 토션 $\tau$ 의 크기는 $B^{\prime}$ 의 크기에 비례한다. 이를 위의 접평면과 결부 시켜 생각해보면 토션의 크기 $\left| - \left< B^{\prime}(s) , N (s) \right> \right|$ 는 ‘곡선이 접평면에서 얼마나 벗어나려하는지’에 대한 척도가 될 것이다. 앞서 말했듯 $B$ 가 상수라서 $B^{\prime} = 0$ 라면 이 곡선은 자신이 놓여있는 (접)평면을 벗어날 생각이 전혀 없는 것이다.

물리적 의미⁴

곡선 $\alpha$는 물리학에서 위치로 볼 수 있다. $\alpha^{\prime}$ 을 속도라고 부르는 이유는 $\alpha$의 변수를 시간, 함숫값을 위치로 생각하기 때문이며, 사실은 반대로 이러한 개념을 수학적으로 추상화 시킨것이 미분기하에서의 곡선이다. 이제 어떤 물체가 곡선 $\alpha$를 따라서 운동하고 있다고 해보자. 물리학에서 위치는 $\mathbf{r}$로 표현하므로

$$\alpha (t) = \mathbf{r}(t)$$

속도는 위치를 미분한 것이므로 $\mathbf{v} = \dfrac{d \mathbf{r}}{dt} = \dfrac{d \alpha}{d t}$이다. 이때 탄젠트의 정의에 의해 $T = \dfrac{\alpha^{\prime}}{\left| \alpha^{\prime} \right|} = \dfrac{\mathbf{v}}{v}$이므로

$$\mathbf{v} = v T$$

이제 양변을 $t$로 미분해보자. 속도의 미분은 가속도이므로

$$\mathbf{a} = \dfrac{d \mathbf{v}}{dt} = v^{\prime} T + v T^{\prime}$$

이때 $(1)$에 의해 다음을 얻는다.

$$\kappa = \dfrac{\left| T^{\prime} \right|}{\left| \mathbf{r}^{\prime} \right|} = \dfrac{\left| T^{\prime} \right|}{v} \implies \left| T^{\prime} \right| = v\kappa$$

노멀의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$N = \dfrac{T^{\prime}}{\left| T^{\prime} \right|} = \dfrac{T^{\prime}}{v\kappa} \implies T^{\prime} = v\kappa N$$

따라서 가속도는 다음과 같이 표현된다.

$$\mathbf{a} = v^{\prime}T + v^{2}\kappa N$$

이로부터 가속도는 접평면에 있는 벡터이며, $T$와 $N$의 선형결합으로 나타난다는 것을 알 수 있다.