📂수리통계학

효율적추정량

정의 ¹

$Y$ 가 모수 $\theta$ 에 대한 불편추정량이라고 하자.

1. 라오-크래머 하한 $\text{RC}$ 에 대해 다음을 추정량 $Y$ 의 효율성^efficiency이라고 한다. $$ {{ \text{RC} } \over { \operatorname{Var} (Y) }} $$
2. 효율성이 $1$ 인 추정량을 효율적추정량^{efficient estimator}이라고 한다.

설명

라오-크래머 부등식: $$ \operatorname{Var} (Y) \ge {{ \left[ k’(\theta) \right]^{2} } \over { n I (\theta) }} = \text{RC} $$

위 부등식에 따라 효율이 $1$ 보다 커질 수 없음은 자명하다.

추정량이 효율적이라는 말은 직관과 딱 맞는데, 실제 분산과 라오-크래머 하한이 같다는 것은 그 이론적인 분산이 가장 작다는 것―모수 $\theta$ 를 찍기 위한 추정량이 가능한 좁은 구간에서 $\theta$ 를 찍는다는 것이다.

최선불편추정량과의 차이

언뜻 보면 최선불편추정량와 비슷해보이는데, 효율적추정량은 그 분산이 정확히 라오-크래머 하한까지 낮아져서 이론적으로 더보다 좋을 수 없는 불편추정량이고, 최선불편추정량은 이론적인 한계까진 아니더라도 다른 모든 불평추정량만 압도하면 된다. 최선을 다한다고 반드시 효율성이 $1$ 이 된다는 보장은 없으며, 분산을 이론적인 하한까지 최소화하지 못하더라도 최선불편추정량이 되는 것에는 전혀 문제가 없다.

효율적추정량이면 최선불편추정량이지만, 이 역은 성립하지 않는다.