📂동역학

푸앙카레 맵

정의 ¹

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$ 와 오픈 셋 $U \subset \mathbb{R}^{n}$ 에서 연속인 함수 $f : U \to \mathbb{R}^{n}$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$ 그 플로우를 $\phi_t \left( \cdot \right)$ 와 같이 나타내고 벡터필드를 가로지르는 $\left( n-1 \right)$차원 곡면 $\Sigma$ 를 생각해보자. 오픈 셋 $V \subset \Sigma$ 에 대해 다음과 같은 맵 $P$ 를 푸앙카레 맵^{Poincaré map}이라 한다. $$ \begin{align*} P : V &\to \Sigma \\ x &\mapsto \phi_{\tau (x)} (x) \end{align*} $$ 여기서 $\tau (x)$ 는 $x$ 에서 출발해 다시 $\Sigma$ 로 돌아오는 시간을 의미한다.

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• $\Sigma$ 의 모든 점에서 $f(x) \cdot n (x) \ne 0$ 이면 $\Sigma$ 가 벡터필드를 가로지른다^transverse고 한다.

설명

$P$ 로 인해 $\Sigma$ 상에서 그 플로우 $\phi$ 는 그 중간과정을 생략하고 $\Sigma$ 를 떠돌게 된다.

덴마에서 원거리 공격을 막아내는 평면구속²과 비슷한 이미지다. 푸앙카레 맵은 벡터필드로 표현된 시스템을 $\Sigma$ 로 한 차원 내린 맵이다. 다른 것도 아니고 차원이 하나 사라졌으니 소실되는 정보도 많겠지만, 전체적인 양상에 관심을 둔다면 어떤 문제에서든 사용해봄직하다.

같이보기

• 고정점의 쌍곡성의 정의를 이용해 리미트사이클의 쌍곡성을 정의할 때 푸앙카레 맵이 쓰인다.