📂レンマ

マルコフの不等式の証明

定理¹

確率変数$X$に対して関数$u(X) \ge 0$を定義しよう。$E \left( u(X) \right)$が存在するならば、$c > 0$に対して $$ P(u(X) \ge c) \le {E \left( u(X) \right) \over c} $$

説明

数多くの証明に使われる補助定理であり、これをより便利にしたチェビシェフの不等式がある。

条件で$1$次モーメントが存在しなければならないことを見て、あまりにも簡単で当然の条件だと思うかもしれない。まあ、ある程度は正しい話だが、学部生くらいになったなら、その存在性というものが決して当たり前ではないというファクトくらいは知っておこう。

証明

戦略：積分範囲を$c$を基準に二つに分け、大小関係だけを利用して簡単な形に変える。本証明は連続確率分布に対するものだが、同じ方法で離散確率分布に対しても証明が可能である。

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集合 $A := \left\{ x : u(x) \ge c \right\}$と確率変数$X$の確率密度関数$f$を定義しよう。

$\mathbb{R} = A \cup A^c$なので $$ E(u(X)) = \int _{-\infty} ^{\infty} u(x)f(x)dx = \int _{A} u(x)f(x)dx + \int _{A^c} u(x)f(x)dx $$ $u(x)f(x) \ge 0$ならば$\displaystyle \int _{A^c} u(x)f(x)dx \ge 0$なので $$ E(u(X)) \ge \int _{A} u(x)f(x)dx $$ $u(x) \ge c$なので $$ E(u(X)) \ge c \int _{A} f(x)dx $$ $\displaystyle \int _{A} f(x)dx = P(X \in A) = P(u(X) \ge c)$なので $$ E(u(X)) \ge c P(u(X) \ge c) $$ 両辺を$c$で割ると $$ {E(u(X)) \over c} \ge P(u(X) \ge c) $$

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