📂기하학

벡터공간에서 정의되는 기저의 방향

정의 ¹

$$U = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \cdots, \mathbf{u}_{n} \right\} \\ V = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$$ 위의 두 순서 있는 집합 $U,V$ 가 벡터공간 $X$ 의 기저라고 하고 행렬 $\left( a_{ij} \right) \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 을 다음 식이 만족되도록 정의하자. $$\mathbf{v}_{j} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \mathbf{u}_{i}$$ 이때 $\det \left( a_{ij} \right) > 0$ 이면 $U,V$ 가 같은 방향^orientation이라하고 $\det \left( a_{ij} \right) < 0$ 이면 다른 방향이라 한다.

특히 유클리드 공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 에서는 방향의 이름이 있다.

• $\mathbb{R}^{2}$ 에서 기저 $\left\{ \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{1} \right\}$ 는 시계 방향이다.
• $\mathbb{R}^{3}$ 에서 기저 $\left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\}$ 는 오른손 방향이다.

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• $\mathbf{e}_{k}$ 는 $k$ 번째 성분만 $1$ 이고 나머지는 $0$ 인 단위벡터 $\left( 0, \cdots , 0, 1, 0 ,\cdots ,0 \right)$ 다.

설명

방향의 정의에서 두 기저는 순서가 있음에 주의하자. 방향이 같고 다르고는 행렬식으로 판별하므로 이 순서가 바뀌면 행렬 $\left( a_{ij} \right)$ 의 행, 열이 바뀌고 그때마다 부호도 정확히 한번씩 반전된다.

기하학적으로 방향을 정의하는 이유는 납득하기 어렵지 않을 것이다. $2$차원 평면 $\mathbb{R}^{2}$ 에서 $\mathbf{e}_{2} \to \mathbf{e}_{1}$ 는 시계바늘이 도는 방향, $3$차원 공간 $\mathbb{R}^{3}$ 에서 $\mathbf{e}_{1} \to \mathbf{e}_{2} \to \mathbf{e}_{3}$ 는 엄지손가락을 들고 오른손이 안쪽으로 감기는 모양을 떠올리면 좋다. $4$차원 이상부터는 이러한 개념이 없기 때문에 정확히 이름이 붙지 않고 두 기저를 가져와서 서로가 같냐 다르냐를 따질수밖에 없다.

예시

$$\begin{align*} \mathbf{u}_{1} =& \mathbf{e}_{1} & \mathbf{v}_{1} =& \left( 1, 1, 0 \right) \\ \mathbf{u}_{2} =& \mathbf{e}_{2} & \mathbf{v}_{2} =& \left( 1, 0, -1 \right) \\ \mathbf{u}_{3} =& \mathbf{e}_{3} & \mathbf{v}_{3} =& \left( 2, 1, 3 \right) \end{align*}$$

$\mathbb{R}^{3}$ 에서 위와 같은 두 기저를 생각해보면 $$\begin{align*} \mathbf{v}_{1} = \left( 1, 1, 0 \right) =& 1 \mathbf{e}_{1} + 1 \mathbf{e}_{2} + 0 \mathbf{e}_{3} \\ \mathbf{v}_{2} = \left( 1, 0, -1 \right) =& 1 \mathbf{e}_{1} + 0 \mathbf{e}_{2} - 1 \mathbf{e}_{3} \\ \mathbf{v}_{3} = \left( 2, 1, 3 \right) =& 2 \mathbf{e}_{1} + 1 \mathbf{e}_{2} + 3 \mathbf{e}_{3} \end{align*}$$ 이므로 행렬 $\left( a_{ij} \right)$ 은 $$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}$$ 와 같이 정의되고, 그 행렬식은 $$\begin{align*} \det \left( a_{ij} \right) =& 1 \cdot (0 \cdot 3 - (-1)\cdot 1) \\ && - 1 \cdot ( 1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 ) \\ & + 0 \cdot ( 1 \cdot 1 - 0 \cdot 2 ) \\ =& 1 - 5 + 0 \\ =& -4 \\ <& 0 \end{align*}$$ 이므로 두 기저는 방향이 다르다.