양자역학에서 사다리 연산자란?
정의
임의의 연산자 $N$에 대해서 $n$을 고유값, $\ket{n}$을 $n$에 대응되는 고유 함수라고 하자.
$$ N \ket{n} = n \ket{n} $$
이때 다음을 만족하는 연산자 $A$를 $N$에 대응되는 사다리 연산자ladder operator라고 한다.
$$ \left[ N, A \right] = cA \tag{1} $$
여기서 $c$는 상수이고, $[N, A]$는 교환자이다.
설명
$A$가 사다리 연산자라고 불리는 이유는 $A$가 $\ket{n}$의 고유값을 올리거나 내릴 수 있기 때문이다. $A$가 $\ket{n}$의 고유값을 올리는 경우에는 상승 연산자raising operator라고 하며, $\ket{n}$의 고유값을 내리는 경우에는 하강 연산자lowering operator라고 한다.
$c \gt 0$인 경우에 대해서 생각해보자. $(1)$을 풀어보면,
$$ NA - AN = cA \implies NA = AN + cA $$
$A\ket{n}$이 $\ket{n}$보다 $c$만큼 큰 고유값을 가지는 $N$의 고유 함수라는 것을 보일 수 있다.
$$ \begin{align*} N(A\ket{n}) &= (AN + cA)\ket{n} \\ &= AN\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= nA\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= (n + c)A\ket{n} \end{align*} $$
즉 $A\ket{n} = \ket{n+c}$이다. 이런 경우에 상승 연산자를 흔히 $A_{+}$로 표기한다. 만약 $N$이 에르미트 연산자라면, $A{+}$의 수반 연산자는 반대로 $\ket{n}$의 고유값을 $c$만큼 내리는 하강 연산자이며, 이를 $A_{-} = A^{\ast}$로 표기한다. $N$이 에르미트 연산자이면 $c$는 실수이므로,
$$ \begin{align*} && NA - AN &= cA \\ \implies && (NA - AN)^{\dagger} &= (cA)^{\dagger} \\ \implies && A^{\dagger}N - NA^{\dagger} &= cA^{\dagger} \\ \implies && NA^{\dagger} - A^{\dagger}N &= -cA^{\dagger} \\ \implies && \left[ N, A^{\dagger} \right] &= -cA^{\dagger} \\ \end{align*} $$
따라서 $A^{\dagger} = A_{-}$이고 $\ket{n}$의 고유값을 $c$만큼 내리는 하강 연산자이다.
- 각운동량의 사다리 연산자 $L_{\pm}$