📂양자역학

양자역학에서 사다리 연산자란?

정의

임의의 연산자 $N$에 대해서 $n$을 고유값, $\ket{n}$을 $n$에 대응되는 고유 함수라고 하자.

$$N \ket{n} = n \ket{n}$$

이때 다음을 만족하는 연산자 $A$를 $N$에 대응되는 사다리 연산자^{ladder operator}라고 한다.

$$\left[ N, A \right] = cA \tag{1}$$

여기서 $c$는 상수이고, $[N, A]$는 교환자이다.

설명

$A$가 사다리 연산자라고 불리는 이유는 $A$가 $\ket{n}$의 고유값을 올리거나 내릴 수 있기 때문이다. $A$가 $\ket{n}$의 고유값을 올리는 경우에는 상승 연산자^{raising operator}라고 하며, $\ket{n}$의 고유값을 내리는 경우에는 하강 연산자^{lowering operator}라고 한다.

사다리 연산자의 유용함은 연산자의 고유함수를 쉽게 구할 수 있다는 점에 있다. 연산자 $N$의 고유함수와 고유값 한 쌍 $\ket{n}$, $n$을 알고 있다고 하자. 그러면 모든 $m$에 대해서 다음과 같은 $A\ket{n}$도 $N$의 고유함수가 된다. $c \gt 0$인 경우에 대해서 생각해보자. $(1)$을 풀어보면,

$$NA - AN = cA \implies NA = AN + cA$$

그러면 아래와 같이 $A\ket{n}$이 $\ket{n}$보다 $c$만큼 큰 고유값을 가지는 $N$의 고유 함수라는 것을 보일 수 있다.

$$\begin{align*} N(A\ket{n}) &= (AN + cA)\ket{n} \\ &= AN\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= nA\ket{n} + cA\ket{n} \\ &= (n + c)A\ket{n} \end{align*}$$

즉 $A\ket{n}$는 고유값이 $n+c$인 고유함수들 중 하나이다. 고유값이 $n+c$인 규격화된 고유함수를 $\ket{n+c}$라하면 다음이 성립한다는 거다.

$$A\ket{n} \propto \ket{n+c} \implies A\ket{n} = C_{n+} \ket{n+c}$$

한편 위 경우와 같이 에너지를 올리는 작용을 하는 연산자를 흔히 $A_{+}$와 같이 표기한다. 만약 $N$이 에르미트 연산자라면, $A{+}$의 수반 연산자는 반대로 $\ket{n}$의 고유값을 $c$만큼 내리는 하강 연산자이며, 이를 $A_{-} = A^{\ast}$로 표기한다. $N$이 에르미트 연산자이면 $c$는 실수이므로,

$$\begin{align*} && NA - AN &= cA \\ \implies && (NA - AN)^{\dagger} &= (cA)^{\dagger} \\ \implies && A^{\dagger}N - NA^{\dagger} &= cA^{\dagger} \\ \implies && NA^{\dagger} - A^{\dagger}N &= -cA^{\dagger} \\ \implies && \left[ N, A^{\dagger} \right] &= -cA^{\dagger} \\ \end{align*}$$

따라서 $A^{\dagger} = A_{-}$이고 $\ket{n}$의 고유값을 $c$만큼 내리는 하강 연산자이다.

같이보기

• 양자역학에서 연산자란?
• 양자역학에서 고유값 방정식의 의미
• 각운동량의 사다리 연산자 $L_{\pm}$