📂수리물리

물리학에서 기댓값의 표기법

정의

확률변수 $X$의 확률 밀도 함수가 $f(x)$일 때, 다음의 값을 기댓값^expectation이라고 한다.

$$\braket{X} = \braket{x} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \tag{1}$$

설명

보통 통계학에서는 기댓값을 다음과 같이 표기한다.

$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$

하지만 물리학에서는 흔히 홑화살괄호를 써서 $(1)$과 같이 표기한다. 이를 디랙 노테이션 혹은 브라켓 노테이션^{bra-ket notation}이라 한다. 이러한 표기법은 내적과 양자역학에서 연산자의 기댓값를 표기하는 방식과 관련이 있다. 분산은 $\sigma^{2} = E( (X - E(X))^{2})$이므로 브라켓 표기법으로는 다음과 같다.

$$\sigma^{2} = \braket{(X - \braket{X})^{2}}$$

같이 보기

• 양자역학에서 벡터와 내적
• 양자역학에서 연산자의 기댓값과 분산