📂함수

역삼각함수의 미분법

공식

역삼각함수의 도함수는 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} \sin ^{-1} x &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad & \dfrac{d}{dx} \csc ^{-1} x &= -\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \\ \dfrac{d}{dx} \cos ^{-1} x &= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad & \dfrac{d}{dx} \sec ^{-1} x &= \dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \\ \dfrac{d}{dx} \tan ^{-1} x &= \dfrac{1}{1+x^2} \qquad & \dfrac{d}{dx} \cot ^{-1} x &= -\dfrac{1}{1+x^2} \end{align*}$$

증명

삼각함수의 미분법

$$\begin{align*} \dfrac{d}{dx} \sin x &= \cos x \qquad & \dfrac{d}{dx} \csc x &= -\csc x \cot x \\[1em] \dfrac{d}{dx} \cos x &= - \sin x \qquad & \dfrac{d}{dx} \sec x &= \sec x \tan x \\[1em] \dfrac{d}{dx} \tan x &= \sec^{2} x \qquad & \dfrac{d}{dx} \cot x &= -\csc^{2} x \end{align*}$$

$(\sin^{-1})^{\prime}$, $(\cos^{-1})^{\prime}$

$y = \sin^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\sin y = x$이고 $y$의 범위는 $- \dfrac{\pi}{2} \le y \le \dfrac{\pi}{2}$이다. 이를 $x$에 대해서 미분하면, 연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

$$\dfrac{d}{dx}\sin y = (x)^{\prime} \implies \dfrac{d}{dy}\sin y \cdot \dfrac{y}{dx} = 1 \implies \cos y \cdot \dfrac{dy}{dx} = 1$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} y}}$$

그런데 $\sin y = x$였으므로,

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$

$\dfrac{d}{dx} \cos ^{-1} x$도 같은 방법으로 얻는다.

■

$(\tan^{-1})^{\prime}$

$y = \tan^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\tan y = x$이고 $y$의 범위는 $-\dfrac{\pi}{2} \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$이다. 이를 $x$에 대해서 미분하면, 연쇄법칙에 의해 다음과 같다.

$$\dfrac{d}{dx} \tan y = (x)^{\prime} \implies \dfrac{d}{dy} \tan y \cdot \dfrac{y}{dx} = 1 \implies \sec^{2} y \cdot \dfrac{dy}{dx} = 1$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^{2} y} = \dfrac{1}{1 + \tan^{2} y}$$

그런데 $\tan y = x$였으므로,

$$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$$

■

$(\csc^{-1})^{\prime}$, $(\sec^{-1})^{\prime}$

$y = \csc^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\csc y = x$이고 양변을 $x$로 미분하면, 연쇄법칙에 의해 아래와 같다.

$$\dfrac{d}{dx} \csc y = (x)^{\prime} \implies \dfrac{d}{dy} \csc y \dfrac{dy}{dx} = 1 \implies -\csc y \cot y \dfrac{dy}{dx} = 1$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc y \cot y} = - \sin y \tan y$$

그런데 $\csc y = x$였고, $\sin y = \dfrac{1}{x}$이므로 $\cos y = \sqrt{1 - \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{1}{x}\sqrt{x^{2} - 1}$이다. 따라서,

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x\sqrt{x^{2} - 1}}$$

$(\sec ^{-1} x)^{\prime}$도 같은 방법으로 얻는다.

$(\cot^{-1})^{\prime}$

$y = \cot^{-1} x$라고 하자. 그러면 $\cot y = x$이고 양변을 $x$로 미분하면, 연쇄법칙에 의해 아래와 같다.

$$\dfrac{d}{dx} \cot y = (x)^{\prime} \implies \dfrac{d}{dy} \cot y \dfrac{dy}{dx} = 1 \implies -\csc^{2} y \dfrac{dy}{dx} = 1$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^{2} y} = - \sin^{2}y$$

그런데 $\cot y = x$라고 했으므로,

$$\dfrac{\cos y}{\sin y} = x \implies \dfrac{\cos^{2} y}{\sin^{2}y} = x^{2} \implies \dfrac{1 - \sin^{2}y}{\sin^{2}y} = x^{2}$$

$\sin^{2}y$에 대해서 정리하면, $\sin^{2}y = \dfrac{1}{1 + x^{2}}$을 얻는다. 그러므로,

$$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{1 + x^{2}}$$

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