📂확률분포론

이항분포의 극한분포로써 푸아송분포 유도

정리

$X_{n} \sim B(n,p)$이라고 하자.

$\mu \approx np$ 이면 $$X_{n} \overset{D}{\to} \text{Poi} (\mu)$$

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• $B(n,p)$ 은 시행 $n$ 번에 확률 $p$ 인 이항 분포다.
• $\text{Poi} (\lambda)$ 는 평균과 분산이 $\lambda$ 인 푸아송 분포다.
• $\overset{D}{\to}$ 는 분포 수렴을 의미한다.

설명

여기엔 $\mu \approx np$ 이라는 조건이 필요한 것에 주목하자. $np \approx npq$ 이므로 $q = (1-p) \approx 1$ 즉, $p \approx 0$ 이다. 이는 $p$가 아주 작은 것을 뜻한다.

한편 $\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} }$ 이므로 $n$은 아주 커야할 것이다. 이런 조건이 나오게 된 경위는 푸아송분포의 평균과 분산이 같다는 점에서 쉽게 납득할 수 있을 것이다.

증명

적률생성함수 $M_{X} (t)$를 생각해보자. $$M_{X} (t) = \left\{ (1-p) + p e^{t} \right\} ^{n} = \left\{ 1 + p (e^{t} - 1 ) \right\} ^{n}$$ $\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} }$이므로 $$M_{X} (t) = \left\{ 1 + { {\mu (e^{t} - 1 )} \over {n} } \right\} ^{n}$$ 따라서 $$\lim_{n \to \infty} M_{X} (t) = e^{ \mu (e^{t} - 1 ) }$$ $e^{ \mu (e^{t} - 1 ) }$ 는 $\text{Poi}(\mu)$ 의 적률생성함수이므로, $X_{n}$ 은 $\text{Poi} (\mu)$ 으로 분포수렴한다.

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