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놈 공간에서 무한 급수 스팬 토탈 시퀀스

무한 급수¹

정의

$(X, \left\| \cdot \right\|)$를 놈 공간이라고 하자. $X$의 수열 $\left\{ \mathbf{x}_{k}\right\}_{k\in \mathbb{N}}$에 대해서 부분합을 다음과 같이 정의하자.

$$\mathbf{S}_{N} := \sum \limits_{k=1}^{N}\mathbf{x}_{k}$$

부분합 $\mathbf{S}_{N}$의 극한이 $\mathbf{x} \in X$로 수렴하면, 즉 아래의 식

$$\lim \limits_{N\to \infty}\left\| \mathbf{x}-\sum \limits_{k=1}^{N}\mathbf{x}_{k} \right\|=0$$

을 만족하면 무한 급수^{infinite series} $\sum_{k=1}^{\infty}\mathbf{x}_{k}$가 $\mathbf{x}$로 수렴한다고 말하고 다음과 같이 표기한다.

$$\mathbf{x}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\mathbf{x}_{k}$$

설명

유한 차원을 넘어 무한 차원 벡터 공간의 기저에 대해서 말하기 위해 필요한 과정이다. 수렴을 말하기 위해서 $X$는 놈 공간일 필요가 있다. 무한 차원 벡터 공간의 생성도 유한 차원 벡터 공간에서의 생성과 비슷하게 정의된다.

생성

정의

놈 공간 $X$의 수열 $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$가 주어졌다고 하자. 이때 $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$의 생성^span 을 다음과 같이 정의한다. $$\text{span}\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}:= \left\{ c_{1}\mathbf{x}_{1}+\cdots+c_{N}\mathbf{x}_{N} : N\in \mathbb{N},\ c_{1},\dots,c_{N}\in \mathbb{C} \right\}$$

설명

다시 말해 모든 $N\in \mathbb{N}$에 대해서 가능한 모든 선형 결합의 집합이다.

급수의 수렴과 스팬에 대해서 다음의 성질이 성립한다.

성질

각각의 $\mathbf{x} \in X$에 대해서

$$\begin{equation} \mathbf{x}= \sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{x}_{k}\end{equation}$$

와 같이 표현할 수 있으면, 다음의 식이 성립한다.

$$\begin{equation} \overline{\text{span}} \left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}} =X \end{equation}$$

설명

$(2)$가 성립하면, $\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$를 $X$의 컴플리트 시퀀스^{complete sequence} 혹은 토탈 시퀀스^{total sequence}라 한다. 또한 토탈 시퀀스를 가지는 놈 공간 $X$를 분리가능^separable하다고 한다.

한편 $(1) \implies (2)$는 성립하지만 역은 성립하지 않는다. 즉 $(1)\quad \!\! \not \!\!\!\! \impliedby (2)$이다.