에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘
📂행렬대수에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘
정의
n∈N 이라 하자.
에르미트 행렬 공간
크기가 n×n 인 에르미트행렬의 집합을 다음과 같이 나타낸다.
Hn:={A∈Cn×n:A=A∗}
양정부호 행렬 집합
크기가 n×n 인 양정부호 행렬의 집합을 Pn 과 같이 나타낸다.
정리
Hn 은 벡터공간이다
- [1]: 스칼라 필드 R 에 대해 Hn 은 벡터공간이다.
Pn 은 Hn 의 컨벡스 콘이다
- [2]: 모든 a,b>0 과 X,Y∈Pn 에 대해 다음이 성립한다.
aX+bY∈Pn
다시 말해, Pn⊂Hn 은 Hn 의 컨벡스 콘이다.
증명
[1]
Hn 의 스칼라 필드가 실수 집합 R1 로 주어진 이상 임의의 X,Y∈Hn 에 대한 스칼라곱은 행렬의 전치와 복소수의 켤레에도 무관하며 벡터공간의 여러가지 조건을 자명하게 만족시킨다.
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[2]
우선 정부호 행렬은 에르미트 행렬이므로 Pn⊂Hn 이 성립한다. 임의의 X,Y 가 정부호 행렬이라면 모든 벡터 v∈Cn 에 대해 v∗Xv>0 이고 v∗Yv>0 이므로 모든 스칼라 a,b>0 에 대해 다음이 성립한다.
==>v∗(aX+bY)vv∗aXv+v∗bYvav∗Xv+bv∗Yv0
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