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에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘 📂행렬대수

에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘

정의

nNn \in \mathbb{N} 이라 하자.

에르미트 행렬 공간

크기가 n×nn \times n에르미트행렬집합을 다음과 같이 나타낸다. Hn:={ACn×n:A=A} \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\}

양정부호 행렬 집합

크기가 n×nn \times n양정부호 행렬의 집합을 Pn\mathbb{P}_{n} 과 같이 나타낸다.

정리

Hn\mathbb{H}_{n} 은 벡터공간이다

  • [1]: 스칼라 필드 R\mathbb{R} 에 대해 Hn\mathbb{H}_{n}벡터공간이다.

Pn\mathbb{P}_{n}Hn\mathbb{H}_{n} 의 컨벡스 콘이다

  • [2]: 모든 a,b>0a, b > 0X,YPnX, Y \in \mathbb{P}_{n} 에 대해 다음이 성립한다. aX+bYPn aX + bY \in \mathbb{P}_{n} 다시 말해, PnHn\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}Hn\mathbb{H}_{n}컨벡스 콘이다.

증명

[1]

Hn\mathbb{H}_{n} 의 스칼라 필드가 실수 집합 R1\mathbb{R}^{1} 로 주어진 이상 임의의 X,YHnX, Y \in \mathbb{H}_{n} 에 대한 스칼라곱은 행렬의 전치복소수의 켤레에도 무관하며 벡터공간의 여러가지 조건을 자명하게 만족시킨다.

[2] 1

우선 정부호 행렬은 에르미트 행렬이므로 PnHn\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n} 이 성립한다. 임의의 X,YX , Y 가 정부호 행렬이라면 모든 벡터 vCn\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n} 에 대해 vXv>0\mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} > 0 이고 vYv>0\mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} > 0 이므로 모든 스칼라 a,b>0a, b > 0 에 대해 다음이 성립한다. v(aX+bY)v=vaXv+vbYv=avXv+bvYv>0 \begin{align*} & \mathbf{v}^{\ast} \left( aX + bY \right) \mathbf{v} \\ =& \mathbf{v}^{\ast} aX \mathbf{v} + \mathbf{v}^{\ast} bY \mathbf{v} \\ =& a \mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} + b \mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} \\ >& 0 \end{align*}