에르미트 행렬 공간과 양준정부호 행렬의 컨벡스 콘
정의
$n \in \mathbb{N}$ 이라 하자.
에르미트 행렬 공간
크기가 $n \times n$ 인 에르미트행렬의 집합을 다음과 같이 나타낸다. $$ \mathbb{H}_{n} := \left\{ A \in \mathbb{C}^{n \times n} : A = A^{\ast} \right\} $$
양정부호 행렬 집합
크기가 $n \times n$ 인 양정부호 행렬의 집합을 $\mathbb{P}_{n}$ 과 같이 나타낸다.
정리
$\mathbb{H}_{n}$ 은 벡터공간이다
- [1]: 스칼라 필드 $\mathbb{R}$ 에 대해 $\mathbb{H}_{n}$ 은 벡터공간이다.
$\mathbb{P}_{n}$ 은 $\mathbb{H}_{n}$ 의 컨벡스 콘이다
- [2]: 모든 $a, b > 0$ 과 $X, Y \in \mathbb{P}_{n}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ aX + bY \in \mathbb{P}_{n} $$ 다시 말해, $\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}$ 은 $\mathbb{H}_{n}$ 의 컨벡스 콘이다.
증명
[1]
$\mathbb{H}_{n}$ 의 스칼라 필드가 실수 집합 $\mathbb{R}^{1}$ 로 주어진 이상 임의의 $X, Y \in \mathbb{H}_{n}$ 에 대한 스칼라곱은 행렬의 전치와 복소수의 켤레에도 무관하며 벡터공간의 여러가지 조건을 자명하게 만족시킨다.
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[2] 1
우선 정부호 행렬은 에르미트 행렬이므로 $\mathbb{P}_{n} \subset \mathbb{H}_{n}$ 이 성립한다. 임의의 $X , Y$ 가 정부호 행렬이라면 모든 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$ 에 대해 $\mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} > 0$ 이고 $\mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} > 0$ 이므로 모든 스칼라 $a, b > 0$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{align*} & \mathbf{v}^{\ast} \left( aX + bY \right) \mathbf{v} \\ =& \mathbf{v}^{\ast} aX \mathbf{v} + \mathbf{v}^{\ast} bY \mathbf{v} \\ =& a \mathbf{v}^{\ast} X \mathbf{v} + b \mathbf{v}^{\ast} Y \mathbf{v} \\ >& 0 \end{align*} $$
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