📂푸리에해석

푸리에 변환의 여러 정의와 표기법

개요

푸리에 변환의 정의와 표기법은 저자의 필요와 취향에 따라 다양하게 나타난다. 그래서 교재, 강의, 논문 등에서 푸리에 변환을 다루기 전에 정의와 표기법을 확실하게 짚고 넘어가는 경우가 많다. 아는 개념이라고 정의를 생략하고 읽다보면 수식이 이상하다고 느낄 수 있으니 잘 확인해야 한다. 물론 제일 중요한 것은 그러한 정의들이 본질적으로 다 같다는 것이므로 표기법이나 정의 그 자체에는 크게 신경쓸 필요가 없다. 본 문서에서는 각각의 정의에 어떤 장단점과 차이가 있는지 소개한다.

설명¹

푸리에 변환은 마치 주기가 실수 전체인 함수의 푸리에 급수를 생각하는 과정에서 자연스럽게 유도된다. 그 과정에서 $f$의 푸리에 변환과 푸리에 역변환은 다음과 같이 정의된다.

푸리에 변환	푸리에 역변환
$\displaystyle \hat{f}(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$	$\displaystyle f(x):=\frac{1}{2\pi}\int _{-\infty} ^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{i \xi x}d\xi$

여기서 $\hat{}$은 [햇]이라 읽는다. $\hat{f}(\xi)$는 [에프 햇 크시]라고 읽는다. 여기서 작용소로서의 느낌, 적분변환의 느낌을 강조하고 싶을 때라든가, 도함수를 뜻하는 ${}^{\prime}$기호와 $\hat{}$기호를 같이 써야할 때라든가, 헷갈림을 피하기 위해 아래와 같은 노테이션으로 쓰기도 한다.

푸리에 변환	푸리에 역변환
$\mathcal{F}:L^{1} \to L^{1}$	$\mathcal{F}^{-1}:L^{1} \to L^{1}$
$\displaystyle \mathcal{F}f(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$	$\displaystyle \mathcal{F}^{-1}f(x):=\frac{1}{2\pi}\int _{-\infty} ^{\infty}f(\xi)e^{i \xi x}d\xi$

$\mathscr{F}$를 쓰는 경우도 있다. 노테이션의 차이 외에도 푸리에 변환의 정의 자체가 다음과 같이 다를 수도 있다.

푸리에 변환	푸리에 역변환
$\displaystyle \hat{f}(\xi):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$	$\displaystyle f(x):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\infty} ^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{i \xi x}d\xi$
$\displaystyle \hat{f}(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}dx$	$\displaystyle f(x):=\int _{-\infty} ^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i \xi x}d\xi$

설명의 편의를 위해 위의 각 정의를 다음과 같이 표기하자.

$$ \tilde{f}(\xi):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx \quad \text{and} \quad \check{f}(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}dx $$

위와 같이 푸리에변환의 정의가 다양한 이유는 아래의 표에서 찾아볼 수 있다.

플랜체렐 정리	컨볼루션	도함수의 푸리에 변환
$\| \hat{f} \|^{2} =2\pi\left\| f \right\|^{2}$	$(f \ast g)\hat{}=\hat{f}\hat{g}$	$(f^{\prime})\hat{} (\xi)=i\xi \hat{f}(\xi)$
$\| \tilde{f} \|^{2}=\left\| f \right\|^{2}$	$(f \ast g)\tilde{}=\sqrt{2\pi}\tilde{f}\tilde{g}$	$(f^{\prime})\tilde{} (\xi)=i\xi \tilde{f}(\xi)$
$\| \check{f} \|^{2}=\left\| f \right\|^{2}$	$(f \ast g)\check{}=\check{f}\check{g}$	$(f^{\prime})\check{} (\xi)=2\pi i\xi \check{f}(\xi)$

위 표에서 보이듯이 정의에 따라 상수 $2\pi$가 생기는 식이 다르다. 따라서 어떤 수식을 깔끔하게 만들고 싶은지에 따라서 정의가 달라질 수 있다. 경험적으로 봤을 때 신호, 영상처리 분야에서는 $\check{f}$와 같은 정의를 많이 쓴다. 또한 푸리에 변환의 정의에서 지수에 마이너스$(-)$가 없을 수도 있다. 이 경우에는 역변환 쪽에 붙어 있을거기 때문에 알던 정의와 다르다며 혼란스러워하지 말도록 하자.