해석학의 여러가지 급수판정법 총정리
📂미분적분학 해석학의 여러가지 급수판정법 총정리 개요 몇 가지 급수판정법 들을 별도의 증명 없이 소개한다. 증명은 각 판정법의 문서를 참고하자.
이 포스트에서는 다음과 같은 노테이션을 공유한다:
N \mathbb{N} N 자연수 를 모두 모은 집합이다.R \mathbb{R} R 집합 이고, R ‾ \overline{\mathbb{R}} R ± ∞ \pm \infty ± ∞ 확장된 실수 집합 이다.{ a k } k ∈ N , { b k } k ∈ N ⊂ R \left\{ a_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}, \left\{ b_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} { a k } k ∈ N , { b k } k ∈ N ⊂ R 실수열 이다.∃ lim k → ∞ x k \exists \lim_{k \to \infty} x_{k} ∃ lim k → ∞ x k x k x_{k} x k R \mathbb{R} R ∄ lim k → ∞ x k \not\exists \lim_{k \to \infty} x_{k} ∃ lim k → ∞ x k x k x_{k} x k R \mathbb{R} R 충분히 큰 k k k lim k → ∞ a k b k = 1 \displaystyle \lim_{k \to \infty} { {a_k} \over {b_k} } = 1 k → ∞ lim b k a k = 1 a k ≈ b k a_k \approx b_k a k ≈ b k b k ↓ 0 b_k \downarrow 0 b k ↓ 0 b k b_{k} b k 감소수열 이며 k → ∞ k \to \infty k → ∞ 0 0 0 0 0 0 실수열 lim k → ∞ a k ≠ 0 \lim _{ k \to \infty }{ { a }_{ k }} \ne 0 lim k → ∞ a k = 0 ∑ k = 1 ∞ a k \sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ k = 1 ∞ a k lim k → ∞ a k ≠ 0 ⟹ ∄ ∑ k = 1 ∞ a k
\lim _{ k \to \infty }{ { a }_{ k }} \ne 0 \implies \not\exists \sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }}
k → ∞ lim a k = 0 ⟹ ∃ k = 1 ∑ ∞ a k
코시 판정법 ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ a n lim n → ∞ ∑ k = n n + m a k = 0 \lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0 lim n → ∞ ∑ k = n n + m a k = 0 ∃ ∑ k = 1 ∞ a k ⟺ ( ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N : m ≥ n ≥ N ⟹ ∣ ∑ k = n m a k ∣ < ε )
\exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \iff \left( \forall \varepsilon > 0 , \exists N \in \mathbb{N} : m \ge n \ge N \implies \left| \sum_{k=n}^{m} a_{k} \right| < \varepsilon \right)
∃ k = 1 ∑ ∞ a k ⟺ ( ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N : m ≥ n ≥ N ⟹ k = n ∑ m a k < ε )
비음수열 모든 항들이 0 0 0 a k ≥ 0 a_{k} \ge 0 a k ≥ 0
감소함수 f : [ 1 , ∞ ) → R f: [1,\infty) \to \mathbb{R} f : [ 1 , ∞ ) → R 0 0 0 ∑ k = 1 ∞ f ( k ) \sum _{ k =1 }^{ \infty }{ { f }( k )} ∑ k = 1 ∞ f ( k ) ∫ 1 ∞ f ( x ) d x < ∞ \int_{1}^{\infty} f(x) dx < \infty ∫ 1 ∞ f ( x ) d x < ∞ ∃ ∑ k = 1 ∞ f ( k ) ⟺ ∫ 1 ∞ f ( x ) d x < ∞
\exists \sum_{k=1}^{\infty} f(k) \iff \int_{1}^{\infty} f(x) dx < \infty
∃ k = 1 ∑ ∞ f ( k ) ⟺ ∫ 1 ∞ f ( x ) d x < ∞
적분 판정법 integral test 은 f ( n + 1 ) ≤ ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ f ( n ) f(n+1) \le \int_{n}^{n+1} f(x) dx \le f(n) f ( n + 1 ) ≤ ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ f ( n ) ∑ k = 1 ∞ k − p \sum _{ k=1 }^{ \infty } k^{-p} ∑ k = 1 ∞ k − p p > 1 p>1 p > 1 ∃ ∑ k = 1 ∞ 1 k p ⟺ p > 1
\exists \sum_{k=1}^{\infty} {{ 1 } \over { k^{p} }} \iff p > 1
∃ k = 1 ∑ ∞ k p 1 ⟺ p > 1
p p p p p p 조화급수 에서 조금이라도 승수를 올리면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산한다는 것이다. 적분 판정법에 기하급수 를 넣어서 유도되는 따름정리지만 워낙 단순하고 유용해서 적분 판정법보다도 많이 쓰인다.충분히 큰 k k k 0 ≤ a k ≤ b k 0 \le a_k \le b_k 0 ≤ a k ≤ b k ∑ k = 1 ∞ b k \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { b }_{ k }} ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ a k \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ k = 1 ∞ a k ∑ k = 1 ∞ b k < ∞ ⟹ ∑ k = 1 ∞ a k < ∞ ∑ k = 1 ∞ a k = ∞ ⟹ ∑ k = 1 ∞ b k = ∞
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{\infty} b_{k} < \infty \implies & \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} < \infty
\\ \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} = \infty \implies & \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} = \infty
\end{align*}
k = 1 ∑ ∞ b k < ∞ ⟹ k = 1 ∑ ∞ a k = ∞ ⟹ k = 1 ∑ ∞ a k < ∞ k = 1 ∑ ∞ b k = ∞
비교 판정법 comparison test 는 비교라는 이름이 붙은 판정법답게 이미 수렴하는 걸 알고 있는 다른 급수와 비교해서 수렴하는 것을 보일 때 쓴다. 대우명제 를 사용하면 마찬가지의 방법으로 급수가 발산하는지를 확인할 수 있다.충분히 큰 k k k a k ≥ 0 a_k \ge 0 a k ≥ 0 b k > 0 b_k>0 b k > 0 L : = lim k → ∞ a k b k ∈ R ‾ L := \lim_{k \to \infty} { {a_k} \over {b_k} } \in \overline{\mathbb{R}} L := lim k → ∞ b k a k ∈ R 확장된 실수 다. (1) 0 < L < ∞ 0<L<\infty 0 < L < ∞ ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ a n ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ b n L = 0 L=0 L = 0 ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ b n ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ a n L = ∞ L=\infty L = ∞ ∑ n = 1 ∞ b n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { b }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ b n ∑ n = 1 ∞ a n \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} ∑ n = 1 ∞ a n 0 < L < ∞ ⟹ ( ∃ ∑ k = 1 n a k ⟺ ∃ ∑ k = 1 n b k ) L = 0 ⟹ ( ∃ ∑ k = 1 n b k ⟹ ∃ ∑ k = 1 n a k ) L = ∞ ⟹ ( ∄ ∑ k = 1 n b k ⟹ ∄ ∑ k = 1 n a k )
\begin{align*}
0 < L < \infty \implies & \left( \exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \iff \exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \right)
\\ L = 0 \implies & \left( \exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \implies \exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \right)
\\ L = \infty \implies & \left( \not\exists \sum_{k=1}^{n} b_{k} \implies \not\exists \sum_{k=1}^{n} a_{k} \right)
\end{align*}
0 < L < ∞ ⟹ L = 0 ⟹ L = ∞ ⟹ ( ∃ k = 1 ∑ n a k ⟺ ∃ k = 1 ∑ n b k ) ( ∃ k = 1 ∑ n b k ⟹ ∃ k = 1 ∑ n a k ) ( ∃ k = 1 ∑ n b k ⟹ ∃ k = 1 ∑ n a k )
극한 비교 판정법 limit Comparison test 은 비교 판정법과 마찬가지로 원래 급수가 수렴하는지 보이기 어려워서 다른 수렴하는 급수와 비교하는 것이다. 언뜻 조건이 까다로워 보이지만 실제로는 조금만 건드리면 만족시키기 쉬워서 수렴성만 보일 땐 아주 유용하다.절대수렴 무한급수 S = ∑ k = 1 ∞ a k S = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} S = ∑ k = 1 ∞ a k ∑ k = 1 ∞ ∣ a k ∣ \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right| ∑ k = 1 ∞ ∣ a k ∣ S S S 절대 수렴 converge Absolutely 한다고 정의한다. 이에 따라 절대수렴하지는 않지만 S S S 조건부 수렴 converge Conditionally 한다고 말하기도 한다.
{ ∣ a k ∣ 1 / k } \left\{ \left| a_{k} \right|^{1/k} \right\} { ∣ a k ∣ 1/ k } 리미트 슈프리멈 r = lim sup k → ∞ ∣ a k ∣ 1 / k r = \limsup_{k \to \infty} {{|a_k|} ^ {1 / k}} r = lim sup k → ∞ ∣ a k ∣ 1/ k r < 1 r<1 r < 1 ∑ n = 1 ∞ a k \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ n = 1 ∞ a k r > 1 r>1 r > 1 ∑ n = 1 ∞ a k \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ n = 1 ∞ a k r < 1 ⟹ ∃ ∑ k = 1 ∞ ∣ a k ∣ r > 1 ⟹ ∄ ∑ k = 1 ∞ a k
\begin{align*}
r < 1 \implies & \exists \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right|
\\ r > 1 \implies & \not\exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}
\end{align*}
r < 1 ⟹ r > 1 ⟹ ∃ k = 1 ∑ ∞ ∣ a k ∣ ∃ k = 1 ∑ ∞ a k
a k ≠ 0 a_{k} \ne 0 a k = 0 r = lim k → ∞ ∣ a k + 1 ∣ ∣ a k ∣ ∈ R ‾ r = \lim_{k \to \infty} { {|a_{k+1}|} \over {|a_{k}|} } \in \overline{\mathbb{R}} r = lim k → ∞ ∣ a k ∣ ∣ a k + 1 ∣ ∈ R r < 1 r<1 r < 1 ∑ k = 1 ∞ a k \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ k = 1 ∞ a k r > 1 r>1 r > 1 ∑ k = 1 ∞ a k \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k }} ∑ k = 1 ∞ a k r < 1 ⟹ ∃ ∑ k = 1 ∞ ∣ a k ∣ r > 1 ⟹ ∄ ∑ k = 1 ∞ a k
\begin{align*}
r < 1 \implies & \exists \sum_{k=1}^{\infty} \left| a_{k} \right|
\\ r > 1 \implies & \not\exists \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}
\end{align*}
r < 1 ⟹ r > 1 ⟹ ∃ k = 1 ∑ ∞ ∣ a k ∣ ∃ k = 1 ∑ ∞ a k
근 판정법 root test 과 비 판정법 ratio test 은 조건이 조금 세지만 한 방에 절대수렴임을 보여주기 때문에 많이 쓰인다. 한편 r = 1 r=1 r = 1 디리클레 판정법 dirichlet’s test 이나 교대급수 판정법 alternating Series test 등이 쓰일 수 있다. 교대급수 판정법은 디리클레 판정법에서 바로 유도될 수 있고, 정확한 값이 아니라 수렴성만 판별하고 싶다면 예시로써 교대조화급수 를 생각해볼 수 있다.디리클레 판정법 부분합 s n = ∑ k = 1 n a k s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k s n = ∑ k = 1 n a k 유계 고 k → ∞ k \to \infty k → ∞ b k ↓ 0 b_k \downarrow 0 b k ↓ 0 ∑ k = 1 ∞ a k b k \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k } {b}_{k}} ∑ k = 1 ∞ a k b k ∣ s n ∣ < ∞ , b k ↓ 0 ⟹ ∃ ∑ k = 1 ∞ a k b k
\left| s_n \right| < \infty , b_k \downarrow 0 \implies \exists \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ { a }_{ k } {b}_{k}}
∣ s n ∣ < ∞ , b k ↓ 0 ⟹ ∃ k = 1 ∑ ∞ a k b k
k → ∞ k \to \infty k → ∞ b k ↓ 0 b_k \downarrow 0 b k ↓ 0 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k b k \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{k} {b}_{k}} ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k b k b k ↓ 0 ⟹ ∃ ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) − k b k
b_k \downarrow 0 \implies \exists \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ (-1)^{-k} {b}_{k}}
b k ↓ 0 ⟹ ∃ k = 1 ∑ ∞ ( − 1 ) − k b k
