📂バナッハ空間

有限次元ノルム空間が基底を持つことの証明

定理¹

すべての有限次元ノルム空間は基底を持つ。

説明

特定の条件を満たす基底ではなく、基底の存在性そのものを明らかにするというのは馴染みがないかもしれないが、実際に基底の定義ではすべてのベクトル空間に基底が存在するとは一度も述べていない。有限次元の定義の仕方によっては、別途証明が不要なほど自明な事実でもある。

証明

戦略：有限次元であることを利用して具体的に基底を構築する。

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$(X, | \cdot | )$は有限次元なので、$\text{span} \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\} = X$を満たす$\left\{x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$が存在する。$y_{1} : = x_{1}$としよう。もし$x_{2} \in \text{span} \left\{ y_{1} \right\}$なら$x_{3}$を考える。もし$x_{2} \notin \text{span} \left\{ y_{1} \right\}$なら$y_{2} := x_{2}$とおく。もし$x_{3} \in \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\}$なら$x_{4}$を考える。もし$x_{3} \notin \text{span} \left\{ y_{1}, y_{2} \right\}$なら$y_{3} := x_{3}$とおく。このようにして$M = \left\{ y_{1} , \dots , y_{k} \right\}$を定義すると、$1 \le j \le k$に対して

$$ y_{j} \notin \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j-1} \right\} $$

$M$が線形独立でないと仮定すると、ある$\lambda_{j} \ne 0$たちに対して

$$ \lambda_{1} y_{1} + \dots + \lambda_{k} y_{k} = 0 $$

そのような$j$の中で最も大きい$j$を$j_{0}$とすると

$$ y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j > j_{0}} \lambda_{j} y_{j} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} $$

したがって$\displaystyle y_{j_{0}} = - {{1} \over { \lambda_{j_{0}} }} \sum_{j < j_{0}} \lambda_{j} y_{j} \in \text{span} \left\{ y_{1} , \dots , y_{j_{0}-1} \right\}$となるが、これは矛盾である。$M \subset \left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$は線形独立であり$\text{span} M = X$を満たすので、$M$が$X$の基底となる。

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証明の過程をよく見ると、$\left\{ x_{1} , \dots , x_{n} \right\}$はかなり余裕をもって$X$を生成していることがわかる。ここで線形独立になることを妨げるものをすべて捨てて$M$だけを取り、具体的にそれが基底であることを示したのである。