📂초함수론

슈바르츠 공간과 슈바르츠 함수

정의

아래의 두 조건을 만족하는 함수 $\phi : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{C}$들의 집합을 슈바르츠 공간^{Schwartz space}이라 하고 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$로 표기한다. 슈바르츠 공간의 원소 $\phi$를 슈바르츠 함수^{Schwartz function}라 한다.

• (a) $\phi \in$ $C^{\infty}$

• (b) 모든 멀티 인덱스 $\alpha$, $\beta$에 대해서 $\left| \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi (\mathbf{x}) \right| <\infty$이다. 이때 $\beta=(\beta_{1}, \beta_{2},\dots,\beta_{n})$에 대해서

  $$\mathbf{x}^{\beta}=x_{1}^{\beta_{1}}x_{2}^{\beta_{2}}\dots x_{n}^{\beta_{n}}$$

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(b) 를 다시 쓰면 다음과 같다.

$$\mathbf{x}^{ \beta}D^{\alpha}\phi (\mathbf{x})\to 0 \text{ as } \left| \mathbf{x} \right|\to \pm \infty \quad \forall \alpha, \beta$$

설명

초함수의 곱, 미분등의 다양한 작용을 테스트 함수에 적용하는 것으로 정의했다. 그러면 이와 같은 센스로 초함수의 푸리에 변환을 아래와 같이 정의하려는 시도를 할 수 있다.

$$\widehat{T^{}}(\phi):=T \big( \hat{\phi} \big)$$

하지만 $\phi$가 테스트 함수라 할지라도 $\widehat{\phi}$가 컴팩트 서포트를 가지지 못해 테스트 함수가 아니게 될 수 있다. 따라서 초함수의 푸리에 변환이 잘 정의되지 않는다. 그래서 푸리에 변환이 잘 정의될 수 있도록 테스트 함수 공간을 확장하여 새롭게 정의한 공간이 슈바르츠 공간이다.

(a) 를 보면 테스트 함수의 조건과 달리 컴팩트 서포트를 가져야 한다는 조건이 없다. 이 때문에 (b) 라는 조건이 추가된 것이다. 테스트 함수는 컴팩트 서포트를 가진다는 강력한 조건이 있기 때문에 함수의 모양에 제한을 둘 필요가 없었다. 이에 반해 슈바르츠 함수는 컴팩트 서포트를 가져야한다는 조건이 없으므로, 수직선 끝에서의 그래프 모양을 제한하기 위해 어떤 다항 함수보다도 빨리 함수값이 줄어들게 하는 조건인 (b) 가 필요한 것이다. 실제로 테스트 함수 공간이 슈바르츠 함수 공간의 진 부분 집합임을 보여서 잘 확장시켰다는 것을 알 수 있다.

$$\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n}) \subsetneq \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$$

성질¹

$\phi, \psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$라고 하자.

• $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 벡터공간이다.
• $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 곱에 대해 닫혀있다. $$\psi \phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$$
• $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 다항식 $P$와의 곱에 대해 닫혀있다. $$P\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$$
• $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 미분에 대해 닫혀있다. $$\phi^{\prime} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$$
• $\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$은 평행이동과 복소지수함수와의 곱에 대해 닫혀있다. $$\phi (x+y), \phi (x)e^{i\xi \cdot x} \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$$
• 슈바르츠 함수는 적분 가능하다. $$\int\limits_{\mathbb{R}^{n}} \left| \phi (x) \right| dx \lt \infty$$