📂초함수론

초함수의 수렴

정의¹

$D^{\ast}$를 초함수 공간, $\left\{ T_{n} \right\}$를 $D^{\ast}$에서의 초함수열이라고 하자. 모든 테스트 함수 $\phi$에 대해서 아래의 식이 성립하면 $\left\{ T_{n} \right\}$이 $T$로 약 수렴^{weak convergence}한다고 한다.

$$T_{n}(\phi) \to T(\phi) ,\quad \forall \phi \in \mathcal{D}$$

설명

초함수의 수렴을 약수렴이라고 명명하는 이유는 $T$, $T_{n}$들이 정칙 초함수인 경우에는 실제로 힐베르트 공간에서의 약 수렴에 해당하기 때문이다.

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$T, T_{n}$을 정칙 초함수라고 하자. 그러면 대응되는 국소 적분가능한 함수 $u, u_{n}$이 존재한다. 그러면 $T_{n} \to T$일 때 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} && T_{n}(\phi) = \int u_{n} (x) \phi (x) dx &\to \int u(x) \phi (x) dx = T(\phi) \\ \implies && \langle u_{n}, \phi \rangle &\to \langle u, \phi \rangle \end{align*}$$

따라서 $T_{n}$가 $T$로 수렴한다는 것은 $u_{n}$가 $u$로 약 수렴한다는 것과 같다.

정리

$u, u_{n}$이 아래의 세 조건 중 하나라도 만족하면 $T_{n} \to T$이다.

• (a) $u_{n} \to u$이고, 모든 $n$에 대해서 $\left| u_{n} \right| \le v$를 만족하는 $v \in L_{\mathrm{loc}}^{1}$가 존재한다.

• (b) 모든 바운디드 셋 위에서 $u_{n}\rightrightarrows u$이다.

• (c) 모든 바운디드 셋 위에서 $u_{n} \to u \text{ in } L^{2}$이다.